Bài tập 'Xác suất có điều kiện' có lời giải chi tiết thuộc chương trình Toán 12 mới (cả 3 bộ sách: KNTTVCS, Cánh Diều, CTST). Tóm tắ...
Bài tập 'Xác suất có điều kiện' có lời giải chi tiết thuộc chương trình Toán 12 mới (cả 3 bộ sách: KNTTVCS, Cánh Diều, CTST).
Xác suất có điều kiện có thể được tính theo công thức sau:
Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, với $P\left( B \right)>0$ thì khi đó: $$P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}.$$
Vì $AB=BA$ nên với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, ta cũng có: $$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right).$$ Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì: $$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right).$$
Khi đó: $AB$ là biến cố “Sách được chọn là sách Văn học và là sách tiểu thuyết”.
Theo đề ta có $P\left( A \right)=0,18;\text{ }P\left( B \right)=0,6;\text{ }P\left( AB \right)=P\left( A \right)=0,18$ nên $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,18}{0,6}=\frac{3}{10}.$
Vậy xác suất cần tính là: $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{3}{10}$.
Khi đó trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen.
Vậy $P\left( A|\overline{B} \right)=\frac{20}{29}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Ta có $P\left( A \right)=0,25$ và $P\left( B \right)=0,2$.
Ta có $B\subset A$ nên $P\left( BA \right)=P\left( B \right)=0,2$ nên $P\left( B|A \right)=\frac{P\left( BA \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,2}{0,25}=0,8$.
a) Biết một người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông, tính xác suất người đó trên 40 tuổi.
b) Tính tỉ lệ người trên 40 tuổi trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô.
Do có $52\%$ người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông nên $P\left( A \right)=0,52$.
Do có $39\%$ số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông trên 40 tuổi nên $P\left( AB \right)=0,39$.
Vậy $P\left( B|A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,39}{0,52}=0,75$.
b) Trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô thì có 75\% người trên 40 tuổi.
Biến cố $AB$: “Ba bạn được chọn đều là nữ" do đó $P\left( AB \right)\text{ }=\text{ }\frac{\text{ }C_{7}^{3}\text{ }}{C_{12}^{3}}=\frac{7}{44}$.
Biến cố $\overline{B}$ là “Ba bạn được chọn đều là nam” do đó $P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)\text{ =1}-\frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}}=\frac{21}{22}$.
Vậy $P\left( A|B \right)\text{ }=\text{ }\frac{\text{ }P\left( AB \right)\text{ }}{P\left( B \right)}=\frac{1}{6}.$
Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là $60\%$.
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là $90\%$.
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là $15\%$.
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn bao nhiêu lần?
$B$: “ Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách ”.
$AB$: “ Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn và đội mũ bảo hiểm đúng cách ”.
Theo đề ra ta có $P\left( AB \right)=15\%=0,15$; $P\left( B \right)=90\%=0,9$; $P\left( A \right)=60\%=0,6.$
Xác suất để HS bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn, biết HS đó đã đội mũ bảo hiểm đúng cách là:
$P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,15}{0,9}=\frac{1}{6}.$
Vậy việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn số lần là $\frac{0,6}{\frac{1}{6}}=3,6$ lần.
Tóm tắt lí thuyết
Xác suất có điều kiện
Định nghĩa: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ và kí hiệu là $P\left( A|B \right)$.Xác suất có điều kiện có thể được tính theo công thức sau:
Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, với $P\left( B \right)>0$ thì khi đó: $$P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}.$$
Công thức nhân xác suất
Định nghĩa: Vậy với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì ta có: $$P\left( AB \right)=P\left( B \right).P\left( A|B \right).$$ Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.Vì $AB=BA$ nên với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì, ta cũng có: $$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right).$$ Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì: $$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right).$$
Bài tập có lời giải
Bài tập 1
Thư viện của một trường THPT có $60\%$ tổng số sách là sách Văn học, $18\%$ tổng số sách là sách tiểu thuyết và là sách Văn học. Chọn ngẫu nhiên một cuốn sách của thư viện. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách tiểu thuyết, biết rằng đó là quyển sách về Văn học.Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “Sách được chọn là sách tiểu thuyết”, $B$ là biến cố “Sách được chọn là quyển sách về Văn học”.Khi đó: $AB$ là biến cố “Sách được chọn là sách Văn học và là sách tiểu thuyết”.
Theo đề ta có $P\left( A \right)=0,18;\text{ }P\left( B \right)=0,6;\text{ }P\left( AB \right)=P\left( A \right)=0,18$ nên $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,18}{0,6}=\frac{3}{10}.$
Vậy xác suất cần tính là: $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{3}{10}$.
Bài tập 2
Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó. Gọi $A$ là biến cố: "An lấy được viên bi trắng"; $B$ là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng". Tính $P\left( A|\overline{B} \right)$.Lời giải
Nếu $\overline{B}$ xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen.Khi đó trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen.
Vậy $P\left( A|\overline{B} \right)=\frac{20}{29}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Bài tập 3
Một cầu thủ bóng đá có tỷ lệ sút Penalty không dẫn đến bàn thắng là $25\%$ và tỷ lệ sút Penalty bị thủ môn cản phá là $20\%$. Cầu thủ này sút penalty 1 lần. Tính xác suất để thủ môn cản được cú sút của cầu thủ này, biết rằng cầu thủ sút không dẫn đến bàn thắng.Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “Cầu thủ C sút penalty không dẫn đến bàn thắng” và $B$ là biến cố “Cầu thủ C sút penalty bị thủ môn cản phá”.Ta có $P\left( A \right)=0,25$ và $P\left( B \right)=0,2$.
Ta có $B\subset A$ nên $P\left( BA \right)=P\left( B \right)=0,2$ nên $P\left( B|A \right)=\frac{P\left( BA \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,2}{0,25}=0,8$.
Bài tập 4
Một công ty bảo hiểm nhận thấy có $52\%$ số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông và có $39\%$ số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông trên 40 tuổi.a) Biết một người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông, tính xác suất người đó trên 40 tuổi.
b) Tính tỉ lệ người trên 40 tuổi trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô.
Lời giải
a) Gọi $A$ là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông”, $B$ là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô trên 40 tuổi”. Ta cần tính $P\left( B|A \right)$.Do có $52\%$ người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông nên $P\left( A \right)=0,52$.
Do có $39\%$ số người mua bảo hiểm ô tô là đàn ông trên 40 tuổi nên $P\left( AB \right)=0,39$.
Vậy $P\left( B|A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,39}{0,52}=0,75$.
b) Trong số những người đàn ông mua bảo hiểm ô tô thì có 75\% người trên 40 tuổi.
Bài tập 5
Một nhóm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 bạn trong nhóm đi quét sân. Tính xác suất để ba bạn được chọn có cùng giới tính, biết rằng có ít nhất 1 bạn nữ được chọn.Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “ Ba bạn được chọn có cùng giới tính” và $B$ là biến cố “Có ít nhất 1 bạn nữ được chọn ”. Ta cần tính $P\left( A|B \right)\text{ }=\text{ }\frac{\text{ }P\left( AB \right)\text{ }}{P\left( B \right)}$.Biến cố $AB$: “Ba bạn được chọn đều là nữ" do đó $P\left( AB \right)\text{ }=\text{ }\frac{\text{ }C_{7}^{3}\text{ }}{C_{12}^{3}}=\frac{7}{44}$.
Biến cố $\overline{B}$ là “Ba bạn được chọn đều là nam” do đó $P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)\text{ =1}-\frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}}=\frac{21}{22}$.
Vậy $P\left( A|B \right)\text{ }=\text{ }\frac{\text{ }P\left( AB \right)\text{ }}{P\left( B \right)}=\frac{1}{6}.$
Bài tập 6
Kết quả khảo sát những bệnh nhân là học sinh bị tai nạn xe máy điện về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là $60\%$.
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là $90\%$.
Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là $15\%$.
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn bao nhiêu lần?
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “ Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn ”.$B$: “ Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách ”.
$AB$: “ Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn và đội mũ bảo hiểm đúng cách ”.
Theo đề ra ta có $P\left( AB \right)=15\%=0,15$; $P\left( B \right)=90\%=0,9$; $P\left( A \right)=60\%=0,6.$
Xác suất để HS bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn, biết HS đó đã đội mũ bảo hiểm đúng cách là:
$P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,15}{0,9}=\frac{1}{6}.$
Vậy việc đội mũ bảo hiểm đúng cách đối với học sinh khi di chuyển bằng xe máy điện sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn số lần là $\frac{0,6}{\frac{1}{6}}=3,6$ lần.
