Bài 2 ở đề thi Olympic toán quốc tế IMO 2025 do thầy Trần Quang Hùng (GV trường chuyên KHTN Hà Nội) ra đề. Đề bài 2 IMO 2025 Cho các đường ...
Bài 2 ở đề thi Olympic toán quốc tế IMO 2025 do thầy Trần Quang Hùng (GV trường chuyên KHTN Hà Nội) ra đề.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$.
Nguyên gốc tiếng Anh
Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centres $M$ and $N$, respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$. Suppose $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. Line $MN$ intersects $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$, so that $C, M, N, D$ lie on $MN$ in that order. Let $P$ be the circumcentre of triangle $ACD$. Line $AP$ meets $\Omega$ again at $E \ne A$ and meets $\Gamma$ again at $F \ne A$. Let $H$ be the orthocentre of triangle $PMN$.
Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$.
Đề bài 2 IMO 2025
Cho các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ có tâm tương ứng là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$. Giả sử các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại các điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại điểm $C$ và cắt $\Gamma$ tại điểm $D$, sao cho thứ tự các điểm trên đường thẳng đó lần lượt là $C, M, N$ và $D$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại điểm $E \ne A$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại điểm $F \ne A$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$.
Nguyên gốc tiếng Anh
Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centres $M$ and $N$, respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$. Suppose $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. Line $MN$ intersects $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$, so that $C, M, N, D$ lie on $MN$ in that order. Let $P$ be the circumcentre of triangle $ACD$. Line $AP$ meets $\Omega$ again at $E \ne A$ and meets $\Gamma$ again at $F \ne A$. Let $H$ be the orthocentre of triangle $PMN$.
Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$.
Lời giải bài 2 IMO 2025
Đáp án Bài 2 - IMO 2025 của BTC, với 9 cách giải.
