Đề bài Câu 4 - Mã 0124 - Đề của Bộ 2025. Có bốn ngăn (trong một giá sách) được đánh số thứ tự $1, 2, 3, 4$ và $8$ quyển sách khác nhau. Bạ...
Đề bài
Câu 4 - Mã 0124 - Đề của Bộ 2025.Có bốn ngăn (trong một giá sách) được đánh số thứ tự $1, 2, 3, 4$ và $8$ quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng với gáy sách quay ra ngoài mỗi ngăn. Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
• Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
• Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.
Gọi $T$ là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của $\dfrac{T}{400}$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đầu tiên ta xếp $8$ quyển sách khác nhau thành một hàng có $8!$ cách.Giữa $8$ quyển sách có $7$ khoảng trống ở giữa.
Ta chỉ cần ngăn $3$ trong $7$ khoảng trống ở giữa sẽ tạo ra $4$ giá sách thỏa mãn hai điều kiện của đề bài.
Ví dụ một cách ngăn:
□ □ | □ □ □ | □ | □ □
Với số cách chọn $3$ khoảng trống trong $7$ khoảng trống ở giữa ta luôn có một cách ngăn thành $4$ giá sách đều có các quyển sách thỏa mãn điều kiện đề bài: có $C_7^3$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách xếp đôi một khác nhau của An là: $T = 8! \cdot C_7^3 = 1411200$ cách.
Vậy giá trị của $\dfrac{T}{400} = \dfrac{1411200}{400} = 3528.$
