Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng, lợi nhuận lớn nhất?

Đề bài toán (Dựa trên Câu 5 mã 0124 đề 2025 của Bộ) . Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x \in \mathbb{N}^*; 1 \...

Đề bài toán

(Dựa trên Câu 5 mã 0124 đề 2025 của Bộ).
Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x \in \mathbb{N}^*; 1 \le x \le 4500$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x) = -0{,}01x^2 + 450x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x) = \dfrac{30000}{x} + 340$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết.
a) Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng?
b) Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?
c) Giả sử năng lực sản xuất của nhà máy được nâng lên đến $6000$ sản phẩm/tháng. Hỏi trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa?

Lời giải chi tiết

a) Lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng

Lợi nhuận khi bán hết $x$ sản phẩm (với $x \in \mathbb{N}^*; 1 \le x \le 4500$) là:
$L(x) = F(x) - x \cdot G(x) = -0{,}01x^2 + 450x - 30000 - 340x$
Rút gọn $L(x) = -0{,}01x^2 + 110x - 30000$ (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng $= 100000$ nghìn đồng:
$L(x) > 100000$ $\Leftrightarrow -0{,}01x^2 + 110x - 30000 > 100000$
$\Leftrightarrow -0{,}01x^2 + 110x - 130000 > 0$ $\Leftrightarrow 1346{,}68 < x < 9653{,}31$
Kết hợp với điều kiện $x \in \mathbb{N}^*; 1 \le x \le 4500$ $\Rightarrow 1347 \le x \le 4500 \Rightarrow x_{\min} = 1347$
Kết luận: Doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất $\boxed{1347}$ sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng.

b) Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

Ta có hàm lợi nhuận:
$L(x) = -0{,}01x^2 + 110x - 30000$
Hàm $L(x)$ là hàm bậc hai có hệ số $a = -0{,}01 < 0$, nên đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh của parabol tương ứng:
$x_{\text{max}} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{110}{2 \times 0{,}01} = 5500$
Tuy nhiên, điều kiện của bài toán là $1 \le x \le 4500$, nên giá trị lớn nhất đạt tại biên phải $ x = 4500$.
Khi đó:
$L(4500) = -0{,}01 \times 4500^2 + 110 \times 4500 - 30000 = 212250$ (nghìn đồng) $=212{,}25$ triệu đồng.
Kết luận: Doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất $\boxed{4500}$ sản phẩm, với lợi nhuận lớn nhất là $212,25$ triệu đồng.

c) Lợi nhuận tối đa khi nâng công suất

Nếu năng lực sản xuất của nhà máy được nâng lên thì như lời giải ở ý b), cần sản xuất $\boxed{5500}$ sản phẩm để lợi nhuận đạt tối đa. Lợi nhuận tối đa là $L(5500)=272,5$ triệu đồng.