Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (phổ thông) năm học 2025-2026 thành phố Huế, thi ngày 03/10/2025 (buổi sáng). Thời gian làm bài 150 phú...
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (phổ thông) năm học 2025-2026 thành phố Huế, thi ngày 03/10/2025 (buổi sáng). Thời gian làm bài 150 phút.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$.
a) Tìm toạ độ các điểm $M$ thuộc $(C)$ để $OM = \sqrt{2}$.
b) Gọi $N$ là điểm thuộc $(C)$, tiếp tuyến tại $N$ của $(C)$ cắt hai trục toạ độ tại $A$ và $B$. Biết tam giác $OAB$ có độ dài đường cao hạ từ đỉnh $O$ bằng $\dfrac{4}{\sqrt{26}}$, tính $AB$.
Câu 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(C_1), (C_2)$ lần lượt là đồ thị các hàm số $y = \log_4 x$ và $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.
a) Đường thẳng $(d)$ có phương trình $x = a$ ($0 < a \neq 1$) cắt $(C_1), (C_2)$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ và cắt trục hoành tại $I$. Tính $\dfrac{S_{OIA}}{S_{OIB}}$ (với $S_{OIA}, S_{OIB}$ lần lượt là diện tích các tam giác $OIA$ và $OIB$).
b) Tìm toạ độ các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc $(C_1), (C_2)$ sao cho $G(2;0)$ là trọng tâm của tam giác $OMN$.
Câu 3. (2,0 điểm)
Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Nếu trong một tháng, công ty đó sản xuất $x$ sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm (đơn vị là nghìn đồng) được tính theo công thức: $$q(x) = -4x^2 + 19683 \quad (x \in \mathbb{Z}, 1 \le x \le 45).$$ Giả sử các sản phẩm sản xuất ra đều bán hết, tính doanh thu lớn nhất của công ty đó trong một tháng (đơn vị là nghìn đồng).
Câu 4. (2,0 điểm)
a) Gieo một con xúc xắc 6 mặt ba lần liên tiếp. Gọi $a, b, c$ lần lượt là số chấm nhận được qua 3 lần gieo. Tính xác suất để $p = a \cdot b \cdot c$ là một số chia hết cho $6$.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho khi viết các chữ số đó theo thứ tự ngược lại, ta nhận được một số lớn hơn số ban đầu (ví dụ $2025$ là một số thỏa mãn).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $1$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với đáy và $SB = 2$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $SE = 2EA$. Gọi $F$ là giao điểm của $CM$ và $BD$, $P$ là trung điểm của $SN$. Mặt phẳng $(EFP)$ cắt $BC$ tại $Q$.
a) Tính $\dfrac{FD}{FB}$ và $\dfrac{CQ}{CB}$.
b) Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(EFP)$.
Cấu trúc đề thi (20,0 điểm)
Đề thi gồm 4 phần:- Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn (12 câu - 3,0 điểm)
- Phần II. Trắc nghiệm đúng sai (4 câu - 4,0 điểm)
- Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (6 câu - 3,0 điểm)
- Phần IV. Tự luận (5 câu - 10,0 điểm)
Xem 4 trang đề thi (mã 1011)
Trích dẫn phần Tự luận
Câu 1. (2,0 điểm)Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$.
a) Tìm toạ độ các điểm $M$ thuộc $(C)$ để $OM = \sqrt{2}$.
b) Gọi $N$ là điểm thuộc $(C)$, tiếp tuyến tại $N$ của $(C)$ cắt hai trục toạ độ tại $A$ và $B$. Biết tam giác $OAB$ có độ dài đường cao hạ từ đỉnh $O$ bằng $\dfrac{4}{\sqrt{26}}$, tính $AB$.
Câu 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(C_1), (C_2)$ lần lượt là đồ thị các hàm số $y = \log_4 x$ và $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.
a) Đường thẳng $(d)$ có phương trình $x = a$ ($0 < a \neq 1$) cắt $(C_1), (C_2)$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ và cắt trục hoành tại $I$. Tính $\dfrac{S_{OIA}}{S_{OIB}}$ (với $S_{OIA}, S_{OIB}$ lần lượt là diện tích các tam giác $OIA$ và $OIB$).
b) Tìm toạ độ các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc $(C_1), (C_2)$ sao cho $G(2;0)$ là trọng tâm của tam giác $OMN$.
Câu 3. (2,0 điểm)
Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Nếu trong một tháng, công ty đó sản xuất $x$ sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm (đơn vị là nghìn đồng) được tính theo công thức: $$q(x) = -4x^2 + 19683 \quad (x \in \mathbb{Z}, 1 \le x \le 45).$$ Giả sử các sản phẩm sản xuất ra đều bán hết, tính doanh thu lớn nhất của công ty đó trong một tháng (đơn vị là nghìn đồng).
Câu 4. (2,0 điểm)
a) Gieo một con xúc xắc 6 mặt ba lần liên tiếp. Gọi $a, b, c$ lần lượt là số chấm nhận được qua 3 lần gieo. Tính xác suất để $p = a \cdot b \cdot c$ là một số chia hết cho $6$.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho khi viết các chữ số đó theo thứ tự ngược lại, ta nhận được một số lớn hơn số ban đầu (ví dụ $2025$ là một số thỏa mãn).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $1$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với đáy và $SB = 2$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $SE = 2EA$. Gọi $F$ là giao điểm của $CM$ và $BD$, $P$ là trung điểm của $SN$. Mặt phẳng $(EFP)$ cắt $BC$ tại $Q$.
a) Tính $\dfrac{FD}{FB}$ và $\dfrac{CQ}{CB}$.
b) Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(EFP)$.
