Hàm chi phí biên và ý nghĩa của C'(1000)

Hình thành Khi sản xuất $x$ sản phẩm với chi phí là $C(x)$ - hàm chi phí, giả sử có đạo hàm trên khoảng $(0,+\infty)$. Nếu sản xuất thêm m...

Hình thành

Khi sản xuất $x$ sản phẩm với chi phí là $C(x)$ - hàm chi phí, giả sử có đạo hàm trên khoảng $(0,+\infty)$.
Nếu sản xuất thêm một sản phẩm, chẳng hạn $x$ tăng từ $1000$ lên $1001$, ta có $\Delta x = 1001-1000= 1$.
Khi đó, độ tăng chi phí thực tế là $\Delta C = C(1001) - C(1000)$.
Đây cũng chính là chi phí để sản xuất sản phẩm thứ $1001$.
Theo khái niệm vi phân, ta có công thức xấp xỉ: $dC \approx C'(x).dx$.
Áp dụng tại $x = 1000$ và $dx = 1$, ta được $dC \approx C'(1000) \cdot 1 = C'(1000)$.
Vì $dC$ xấp xỉ $\Delta C$, nên $C(1001) - C(1000) \approx C'(1000)$.
Do đó, chi phí sản xuất sản phẩm thứ $1001$ (tức là phần tăng thêm khi tăng từ $1000$ lên $1001$ sản phẩm) xấp xỉ bằng $C'(1000)$.

Tổng quát

Về ý nghĩa kinh tế, $C'(n)$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức đơn vị hàng hoá thứ $n+1$.
Lưu ý: Hàm $C'(x)$ được gọi là hàm chi phí biên (tốc độ thay đổi của $C$ đối với $x$). Xem một ví dụ với số liệu cụ thể.

Ví dụ

Cho hàm chi phí $C(x) = 30000 + 300x - 2,5x^2 + 0,125x^3$, trong đó $x$ là số đơn vị hàng hoá.
a) Tính $C'(1000)$ và giải thích ý nghĩa
Hàm chi phí biên: $C'(x) = 300 - 5x + 0,375x^2$.
Thay $x = 1000$, ta được $C'(1000) = 370300$.
Giải thích ý nghĩa: $C'(1000)$ là chi phí biên tại mức sản lượng $x = 1000$, nghĩa là chi phí tăng thêm để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa (tức đơn vị hàng hoá thứ $1001$), xấp xỉ $370 300$.
b) Tính chi phí để sản xuất đơn vị hàng hóa thứ $1001$
Chi phí để sản xuất đơn vị thứ $1001$ là:
$C(1001) - C(1000)= 123 200 672,625 - 122 830 000$ $= 370 672,625$
$\Rightarrow$ Chi phí để sản xuất đơn vị thứ $1001$ là khoảng $370 673$.
$\Rightarrow$ Hai giá trị $370300$ và $370 673$ rất gần nhau, cho thấy $C'(1000)$ là một xấp xỉ tốt.