Đề bài (Hàn Quốc 2028) Có hai túi $A$ và $B$, mỗi túi chứa $3$ quả bóng được ghi các số $1,2,3$. Một người chơi rút ngẫu nhiên một quả bóng...
Đề bài (Hàn Quốc 2028)
Có hai túi $A$ và $B$, mỗi túi chứa $3$ quả bóng được ghi các số $1,2,3$. Một người chơi rút ngẫu nhiên một quả bóng từ túi $A$, ghi lại số rồi trả lại. Người kia rút ngẫu nhiên một quả bóng từ túi $B$, ghi lại số rồi trả lại. Thí nghiệm này được lặp lại hai lần độc lập. Khi tổng hai số của người rút từ túi $A$ lớn hơn tổng hai số của người rút từ túi $B$, xác suất để tổng hai số của người rút từ túi $A$ là $5$ là $\dfrac{p}{q}$ (với $p,q$ là các số nguyên tố cùng nhau). Tính giá trị của biểu thức $p+q$.Lời giải chi tiết
Tổng số khả năng cho hai lần rút ở mỗi túi là $3\times 3=9$ (với thứ tự có phân biệt). Do đó các tổng $S$ thu được khi rút hai lần có thể là $2,3,4,5,6$.Số cách để được từng tổng $S$ khi rút hai lần từ một túi (liệt kê theo $S$):
$S=2$: $1$ cách;
$S=3$: $2$ cách;
$S=4$: $3$ cách;
$S=5$: $2$ cách;
$S=6$: $1$ cách.
Tổng là $1+2+3+2+1=9$ như mong đợi.
Xác suất để $S_A=5$ là $P(S_A=5)=\dfrac{2}{9}$.
Xác suất để $S_B<5$ (tức $S_B\in \{2,3,4\}$) là
$P(S_B<5)=\dfrac{1+2+3}{9}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Vì hai túi rút độc lập, xác suất đồng thời $S_A=5$ và $S_B<5$ là
$P(S_A=5 \ \text{và}\ S_B<5)=P(S_A=5)\cdot P(S_B<5)$ $=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{27}$.
Xác suất có điều kiện cần tìm là
$P=P(S_A>S_B\mid S_A=5)$ $=\dfrac{P(S_A=5\ \text{và}\ S_A>S_B)}{P(S_A=5)}$.
Nhưng $S_A>S_B$ cùng với $S_A=5$ tương đương $S_B<5$, nên tử số là $P(S_A=5\ \text{và}\ S_B<5)=\dfrac{4}{27}$.
Do đó: $P=\dfrac{\frac{4}{27}}{\frac{2}{9}}=\dfrac{2}{3}$.
Vậy: $p+q=2+3=\boxed{5}$.
