Tính xác suất để tổng của ba số trên 3 tấm thẻ là một số chẵn

Đề bài toán (Hàn Quốc) Có $9$ tấm thẻ, mỗi tấm được ghi một số tự nhiên từ $1$ đến $9$. Sử dụng tất cả $9$ tấm thẻ này một lần để sắp xếp n...

Đề bài toán (Hàn Quốc)

Có $9$ tấm thẻ, mỗi tấm được ghi một số tự nhiên từ $1$ đến $9$. Sử dụng tất cả $9$ tấm thẻ này một lần để sắp xếp ngẫu nhiên vào một hình chữ nhật có $3$ hàng và $3$ cột như hình vẽ. Tính xác suất để tổng của $3$ số trên $3$ tấm thẻ ở cột $2$ là một số chẵn.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Không gian mẫu

Số cách chọn $3$ tấm thẻ (không thứ tự) để đặt vào cột $2$ là $ n(\Omega)=\binom{9}{3} =84. $

Bước 2. Đếm các trường hợp thuận lợi

Tổng của $3$ số là một số chẵn khi và chỉ khi trong $3$ số đó có số lượng số lẻ là một số chẵn (tức $0$ lẻ hoặc $2$ lẻ).
Trong tập ${1,2,\dots,9}$ có $5$ số lẻ và $4$ số chẵn. Ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp có $0$ số lẻ (tức cả $3$ đều chẵn): số cách chọn là $ \binom{4}{3}. $
Vậy số cách là $ \binom{4}{3}=4. $
- Trường hợp có $2$ số lẻ và $1$ số chẵn: số cách chọn là $ \binom{5}{2}\times\binom{4}{1}. $
Vậy số cách là $ \binom{5}{2}\cdot\binom{4}{1}=10\cdot4=40. $
Tổng số trường hợp thuận lợi là $n(A)=\binom{4}{3}+\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{1}=4+40=44. $

Bước 3. Tính xác suất

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{44}{84}=\dfrac{11}{21}.$
Vậy xác suất để tổng của $3$ số trên $3$ tấm thẻ ở cột $2$ là một số chẵn bằng $\boxed{\dfrac{11}{21}}$.
Lưu ý: $\binom{5}{2}=C_5^2$: số các tổ hợp chập $2$ của $5$ phần tử.