🧾 ĐỀ BÀI Người ta muốn xây một cái bể hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 18\ \text{m}^3$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ...
🧾 ĐỀ BÀI
Người ta muốn xây một cái bể hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 18\ \text{m}^3$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng và bể không có nắp. Giá thuê nhân công để xây bể là $500,000\ \text{đồng/m}^2$. Hỏi cần xây bể có chiều cao bằng bao nhiêu mét để chi phí thuê nhân công là thấp nhất?✏️ LỜI GIẢI
Gọi chiều rộng đáy là $w$ (m), chiều dài đáy là $3w$ (m), chiều cao là $h$ (m).Từ thể tích: $3w^2 h = 18 \Rightarrow h = \dfrac{18}{3w^2} = \dfrac{6}{w^2}.$
Diện tích cần xây (không có nắp) gồm đáy và 4 mặt bên:
$A = \text{đáy} + \text{4 mặt bên}$ $= 3w^2 + 2(w h) + 2(3w h) = 3w^2 + 8 w h.$
Thay $h$ vào:
$A(w) = 3w^2 + 8w\cdot\dfrac{6}{w^2} = 3w^2 + \dfrac{48}{w}.$
Để chi phí thấp nhất ta chỉ cần tìm $w$ sao cho $A(w)$ nhỏ nhất (vì chi phí tỉ lệ với $A$).
Tính đạo hàm: $A'(w) = 6w - 48 w^{-2}.$
Giải $A'(w)=0$:
$6w - 48 w^{-2} = 0 \Rightarrow 6w^3 = 48 \Rightarrow w^3 = 8$ $ \Rightarrow w = 2\ \text{(m)}.$
Kẻ bảng biến thiên ta thấy $A(w)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $w=2$.
Khi đó: $h = \dfrac{6}{w^2} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\ \text{(m)}.$
Kết luận: Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì chiều cao bể bằng $1{,}5\ \text{m}$.
