Bài toán mật thư ( Câu 1 phần III - mã 0124 - đề chính thức của Bộ GD 2025 ). Bạn Nam tham gia một cuộc thi giải mật thư. Theo quy tắc của ...
Bài toán mật thư
(Câu 1 phần III - mã 0124 - đề chính thức của Bộ GD 2025). Bạn Nam tham gia một cuộc thi giải mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $$S = \{41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49\}$$ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $A, B, C, M, N, P$ như hình vẽ bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số.Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A, M, B)$, $(B, N, C)$, $(C, P, A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó.
Lời giải chi tiết
Tập $S$ có 5 số lẻ ${41; 43; 45; 47; 49}$ và 4 số chẵn ${42; 44; 46; 48}$.Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = A_9^6 = 60480$
Gọi biến cố $A$: “Chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu” sao cho
$A + B = 2M,\quad A + C = 2P,\quad B + C = 2N$ (điều kiện để là một cấp số cộng ở ba bộ).
Suy ra $A, B, C$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ, và không lập thành một cấp số cộng.
Trường hợp 1: $A, B, C$ cùng lẻ
Chọn 3 số cùng lẻ có $C_5^3 = 10$ cách, nhưng loại 4 bộ tạo thành cấp số cộng: $(41, 43, 45); (43, 45, 47); (41, 45, 49); (45, 47, 49)$ $\Rightarrow$ còn $C_5^3 - 4 = 6$ cách.Hoán vị 3 số $A, B, C$: có $3! = 6$ cách xếp.
$\Rightarrow$ Tổng số cách cho trường hợp này: $6 \times 6 = 36$ cách.
Trường hợp 2: $A, B, C$ cùng chẵn
Chọn 3 số cùng chẵn có $C_4^3 = 4$ cách, nhưng loại 2 bộ tạo thành cấp số cộng: $(42, 44, 46)$ và $(44, 46, 48)$ $\Rightarrow$ còn $4 - 2 = 2$ cách.Hoán vị 3 số $A, B, C$: có $3! = 6$ cách.
$\Rightarrow$ Tổng số cách cho trường hợp này: $2 \times 6 = 12$ cách.
Tổng số cách thỏa điều kiện: $n(A) = 36 + 12 = 48$.
Xác suất cần tìm
$a=P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{48}{60480} = \dfrac{1}{1260}$Suy ra: $\dfrac{4}{a} = 5040$.
