Đề bài toán Người ta muốn làm một tấm bảng quảng cáo hình chữ nhật đặt gọn trong một mái hiên hình bán nguyệt với bán kính $R=8 \ \text{m}$...
Đề bài toán
Người ta muốn làm một tấm bảng quảng cáo hình chữ nhật đặt gọn trong một mái hiên hình bán nguyệt với bán kính $R=8 \ \text{m}$. Tính diện tích lớn nhất có thể của tấm bảng quảng cáo đó theo đơn vị mét vuông.
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho mái hiên là phần giới hạn bởi nửa mặt phẳng $y\ge 0$ và đường tròn tâm $O$, bán kính $R=8$ với phương trình là: $x^{2}+y^{2}=64$.Gọi độ dài nửa cạnh (nằm trên đường kính) của hình chữ nhật là $a$ với $0\le a\le 8$. Khi đó hình chữ nhật có một cạnh là $2a$ và cạnh còn lại là $y=\sqrt{64-a^{2}}$.
Do đó diện tích của hình chữ nhật theo $a$ là $$ A(a)=2a\sqrt{64-a^{2}}. $$ Tính đạo hàm: $$ \begin{aligned} A'(a) &=2\sqrt{64-a^{2}}+2a\cdot\frac{-2a}{2\sqrt{64-a^2}}\\ &=\frac{2(64-a^{2})-2a^{2}}{\sqrt{64-a^{2}}}\\ &=\frac{2(64-2a^{2})}{\sqrt{64-a^{2}}}. \end{aligned} $$ Cho $A'(a)=0$ ta được $$ 64-2a^{2}=0\Leftrightarrow a^{2}=32\Leftrightarrow a=4\sqrt{2}. $$ Do chỉ xét $a \in [0;8]$ nên ta chỉ cần so sánh $3$ giá trị: $$ \begin{aligned} A(0) &= 2\cdot 0\cdot \sqrt{64-0^{2}} = 0,\\ A(8) &= 2\cdot 8\cdot \sqrt{64-8^{2}} = 16\cdot \sqrt{0} = 0,\\ A\left(4\sqrt{2}\right)&=2\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sqrt{64-(4\sqrt{2})^{2}} =64. \end{aligned} $$ Do đó: $\boxed{A_{\max}=64}$.
Vậy diện tích lớn nhất có thể của bảng quảng cáo là $\boxed{64}\ \text{m}^2$, với chiều dài $8\sqrt{2} \ \text{m}$ và chiều rộng $4\sqrt{2} \ \text{m}$.
