Tìm kích thước của thùng tôn hình hộp chữ nhật để chi phí vật liệu là nhỏ nhất

Đề bài toán Ông Hùng cần đóng một thùng chứa gạo có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy với thể tích $2 \ \text{m}^3$ để phục vụ cho vi...

Đề bài toán

Ông Hùng cần đóng một thùng chứa gạo có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy với thể tích $2 \ \text{m}^3$ để phục vụ cho việc trưng bày gạo bán tại cửa hàng. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là $100\ 000$ $\text{đồng/m}^2$ và giá tôn làm thành xung quanh thùng là $50\ 000$ $\text{đồng/m}^2$. Hỏi ông Hùng cần đóng thùng chứa gạo với các kích thước bằng bao nhiêu mét để chi phí mua nguyên vật liệu là nhỏ nhất, biết đáy thùng là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng (nguyên liệu để làm các mối nối không đáng kể) và khi đó chi phí là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng)?

Lời giải

1. Ký hiệu và thể tích

Gọi:
* $w$ (m) là chiều rộng đáy, suy ra chiều dài đáy là $\ell=2w$ (m),
* $h$ (m) là chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Diện tích đáy: $$S_{\text{đáy}}=2w^{2}.$$
Thể tích cho trước $V=2$ và $V=S_{\text{đáy}}\cdot h=2w^{2}h$, do đó $$h=\dfrac{V}{2w^{2}}=\dfrac{2}{2w^{2}}=\dfrac{1}{w^{2}}.$$

2. Chi phí nguyên liệu

* Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}}=2w^{2}$, đơn giá đáy $=100\ 000\ \text{đồng/m}^2$ nên chi phí làm đáy: $$C_{\text{đáy}}=100\ 000\cdot 2w^{2}=200\ 000w^{2}.$$ * Diện tích xung quanh: $$S_{\text{xq}}=2(2w+w)h=6wh=6w\cdot\dfrac{1}{w^{2}}=\dfrac{6}{w}.$$ Đơn giá thành xung quanh $=50\ 000\ \text{đồng/m}^2$ nên chi phí làm thành xung quanh: $$C_{\text{xq}}=50\ 000\cdot \dfrac{6}{w}=\dfrac{300\ 000}{w}.$$ Tổng chi phí: $$ C(w)=C_{\text{đáy}}+C_{\text{xq}}= 200\ 000w^{2}+\dfrac{300\ 000}{w},\quad w>0. $$

3. Tìm $w$ để $C(w)$ nhỏ nhất

Tính đạo hàm: $$ C'(w)=400000w-\dfrac{300000}{w^{2}}. $$ Cho $C'(w)=0$ ta được $$400000w^{3}=300000 \Leftrightarrow w^{3}=\dfrac{300000}{400000}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow w=\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}. $$ Chiều dài đáy: $$ \ell = 2w = 2\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}. $$ Chiều cao: $$ h=\dfrac{1}{w^{2}}=\sqrt[3]{\dfrac{16}{9}}. $$

4. Giá trị chi phí nhỏ nhất

Lập bảng biến thiên của hàm $C(w)$ trên khoảng $(0;+\infty)$ ta thấy $C$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $w=\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}$. GTNN là: $$ C_{\min}=C\left(\sqrt[3]{\tfrac{3}{4}}\right) =200000\left(\sqrt[3]{\tfrac{3}{4}}\right)^{2} +\dfrac{300000}{\sqrt[3]{\tfrac{3}{4}}}. $$ Giá trị xấp xỉ: $$ C_{\min}\approx \boxed{495 \ 000}\ \text{đồng}. $$ ứng với kích thước thùng: $$ w\approx 0.90856\ \text{m},\quad \ell\approx 1.8171\ \text{m},\quad h\approx 1.2114\ \text{m}. $$