Đề bài (vỏ lon sữa bò) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là $314$ ml, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguy...
Đề bài (vỏ lon sữa bò)
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là $314$ ml, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó tìm bán kính đáy và chiều cao của vỏ lon theo đơn vị centimet.Giải chi tiết
Ta có: $314 \ \text{ml}=314\ \text{cm}^3$.Thể tích hình trụ: $V = \pi r^2 h = 314$, trong đó $r$ là bán kính đáy và $h$ là chiều cao của vỏ lon hình trụ.
Diện tích toàn phần của hình trụ: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.$
Từ công thức thể tích $V$, ta suy ra: $h = \dfrac{314}{\pi r^2}.$
Thay vào công thức diện tích toàn phần:
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{314}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{628}{r}.$
Xét hàm $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{628}{r}$ với $r > 0.$
Lấy đạo hàm: $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{628}{r^2}.$
Cho $S'(r) = 0$ ta được:
$4\pi r = \dfrac{628}{r^2} \Leftrightarrow 4\pi r^3 = 628$ $\Leftrightarrow r^3 = \dfrac{157}{\pi}$ $\Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{157}{\pi}}$.
Lập bảng biến thiên của $S(r)$ trên khoảng $(0;+\infty)$ ta thấy $S(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r=\sqrt[3]{\dfrac{157}{\pi}} \approx 3{,}68 \ \text{cm}$.
Khi đó: $h = \dfrac{314}{\pi r^2}=2r \approx 7{,}37 \ \text{cm}.$
Kết luận
Để diện tích toàn phần nhỏ nhất (chi phí sản xuất vỏ lon ít nhất) thì bán kính đáy $r \approx \boxed{3{,}68} \ \text{cm}$ và chiều cao $h \approx \boxed{7{,}37} \ \text{cm}.$Tổng quát, ta nhận thấy $h = 2r$ thì sẽ tối ưu chi phí sản xuất vỏ lon hình trụ.
