Đề bài toán Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2\ \text{m}$ và cách b...
Đề bài toán
Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2\ \text{m}$ và cách bờ $AD$ là $6\ \text{m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (như hình vẽ minh họa). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB$, $AD$ và cây cọc $K$.
Lời giải chi tiết
Gọi cây sào chạm bờ $AD$ tại điểm $Q(a,0)$ và chạm bờ $AB$ tại điểm $P(0,b)$, $a>2,b>6$.Phương trình đường thẳng $PQ$ có dạng $$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1.$$ Vì điểm $K(2,6)$ nằm trên đường thẳng đó nên ta có: $$ \frac{2}{a} + \frac{6}{b} = 1 $$ Từ đó suy ra $$b = \dfrac{6a}{a - 2}.$$ Chiều dài cây sào là $$PQ = \sqrt{a^2 + b^2} =\sqrt{a^2 + \left(\frac{6a}{a - 2}\right)^2}. $$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $PQ$.
Ta có: $$ PQ^2 = a^2 + \frac{36a^2}{(a - 2)^2}.$$ Xét hàm $$f(a)=a^2+\dfrac{36a^2}{(a-2)^2},\qquad a>2.$$ Đạo hàm $$f'(a)=2a-\dfrac{144a}{(a-2)^3}.$$ Cho $f'(a)=0$ ta giải được $a=2+\sqrt[3]{72}=a_0$.
Ngoài ra, $f(a)\to+\infty$ khi $a\to2^+$ hoặc $a\to+\infty$, nên nghiệm trên cho giá trị nhỏ nhất toàn cục trên miền $a>2$.
Vậy $PQ_{\min}=\sqrt{f(a_0)}\approx 10,8\ \text{m}$.
