Đề bài (sợi dây cáp) Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như...
Đề bài (sợi dây cáp)
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình (độ dài đơn vị trên các trục là $1\ \text{m}$). Biết độ dài $AO = 10\ \text{m}$, $OB = 15\ \text{m}$, $\angle BOH = 30^\circ$. Gọi toạ độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(a,b,c)$.a) Tính giá trị biểu thức $a+c$.
b) Tính độ dài của dây cáp (làm tròn đến hàng đơn vị) theo đơn vị mét.
Lời giải chi tiết
Điểm $A$ là đỉnh tháp cao $10\ \text{m}$ ngay trên tia $Ox$, nên toạ độ của $A$ là $A(0,0,10)$.Điểm $B$ nằm trên mặt đất (mặt phẳng $z=0$), cách $O$ một đoạn $OB=15$ và đường $OB$ tạo với $OH$ (trùng với trục $Oy$ theo chiều dương) một góc $30^\circ$. Do đó trong hệ toạ độ mặt phẳng $Oxy$ ta có:
+ thành phần theo trục $x$: $x_B = OB\sin 30^\circ = 15\sin 30^\circ$ $= 15\cdot \dfrac{1}{2} = 7{,}5$.
+ thành phần theo trục $y$: $y_B = OB\cos 30^\circ = 15\cos 30^\circ$ $= 15\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}$.
Vậy toạ độ của $B$ là $B(7{,}5; \dfrac{15\sqrt{3}}{2};0)$.
Suy ra vectơ $$\overrightarrow{AB} = (7{,}5;\ \dfrac{15\sqrt{3}}{2};\ -10).$$ a) Do đó $a=7{,}5$ và $c=-10$, nên $$a+c=-2,5.$$ b) Độ dài dây cáp $$AB=|\overrightarrow{AB}| = 5\sqrt{13}\approx 18{,}0278\approx 18\ \text{m}.$$ hoặc dùng định lí Pitago: $$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10^2+15^2}=\sqrt{325}\approx 18\ \text{m}.$$
Kết luận nhanh
a) $a+c=\boxed{-2,5}$.b) $AB \approx \boxed{18}\ \text{m}$.
