Đề bài Một nhà hát có $150$ ghế, giá vé hiện tại là $120$ (nghìn đồng)/vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi chương t...
Đề bài
Một nhà hát có $150$ ghế, giá vé hiện tại là $120$ (nghìn đồng)/vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi chương trình.Ban quản lý đang xem xét tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, nhà hát nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm $5$ (nghìn đồng) thì số ghế bị bỏ trống tăng thêm $3$ ghế.
Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu (tính theo nghìn đồng) để nhà hát đạt doanh thu cao nhất?
Lời giải chi tiết
Gọi $n$ là số lần tăng giá (mỗi lần tăng $5$ nghìn đồng).Khi đó:
Giá vé mới: $120 + 5n$ (nghìn đồng).
Số ghế bán được: $150 - 3n$.
Doanh thu (tính bằng nghìn đồng) là:
$R(n) = (120 + 5n)(150 - 3n).$
Khai triển ta được:
$R(n) = 120\cdot150 - 120(3n) + (5n)150 -15n^2$ $ = 18000 +390n -15n^2.$
Viết lại dưới dạng hoàn thành bình phương để tìm giá trị lớn nhất:
$R(n) = -15\Big(n^2 - 26n\Big) + 18000$ $ = -15\Big((n-13)^2 -169\Big) + 18000$ $= -15(n-13)^2 + 15\cdot169 + 18000$ $ = -15(n-13)^2 + 2535 + 18000$ $ = -15(n-13)^2 + 20535.$
Vì $-15(n-13)^2 \le 0$ với mọi $n$, nên $R(n)$ đạt giá trị lớn nhất khi $(n-13)^2 = 0$, tức $n = 13$ (thoả điều kiện $150-3n > 0$).
Khi đó:
Giá vé tối ưu: $120 + 5\cdot13 = \boxed{185}$ (nghìn đồng).
Số ghế bán được: $150 - 3\cdot13 = 111$ ghế.
Doanh thu tối đa: $R_{\max} = 185 \times 111 = 20535$ (nghìn đồng) = $20\ 535\ 000$ đồng.
Kết luận
Giá vé nên đặt là $\boxed{185}$ nghìn đồng/vé.Số ghế bán được là $111$.
Doanh thu tối đa đạt $20\ 535\ 000$ đồng.
