Đề bài toán Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x+\dfrac{1}{x-2}$. Đường tiệm cận đứng Tập xác định của hàm số $D=(-\...
Đề bài toán
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x+\dfrac{1}{x-2}$.Đường tiệm cận đứng
Tập xác định của hàm số $D=(-\infty;2) \cup (2;+\infty)$.Ta có $$\lim_{x\to 2^+} y=+\infty \text{ và } \lim_{x\to 2^-} y=-\infty.$$ Do đó đường thẳng $\boxed{x=2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đường tiệm cận ngang
Xét giới hạn của hàm số khi $x\to +\infty$.Với mọi $x>0$ ta có: $$ \sqrt{x^{2}+1}-x =\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1)}. $$ Do đó $$ \lim_{x\to +\infty} y=\lim_{x\to +\infty}[\frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1)}+\dfrac{1}{x-2}]=0+0=0. $$ Vậy tiệm cận ngang (khi $x\to +\infty$) của đồ thị hàm số là đường thẳng $\boxed{y=0}$.
Đường tiệm cận xiên
Ta sẽ chứng minh đường thẳng $y=-2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi $x\to -\infty$).Ta có: $$\lim_{x\to -\infty}[y-(-2x)]=\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^{2}+1}-x+\dfrac{1}{x-2}+2x)$$ $$=\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^{2}+1}+x)+\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x-2}$$ $$=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}+0=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x(-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1)}=0.$$ Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi $x\to -\infty$) là đường thẳng $\boxed{y=-2x}$.
Kết luận
Đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x+\dfrac{1}{x-2}$ có:*Tiệm cận đứng: $\boxed{x=2}$.
*Tiệm cận ngang: $\boxed{y=0}$.
*Tiệm cận xiên: $\boxed{y=-2x}$.
Hình vẽ:
