Đề bài Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2\text{ m}$. Người ta thiết kế một thùng chứa nước có đáy là hình lục giác đều, ...
Đề bài
Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2\text{ m}$. Người ta thiết kế một thùng chứa nước có đáy là hình lục giác đều, sáu mặt bên là sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác, mỗi hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ ($\text{ m}$). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn và gấp các hình chữ nhật để tạo thành hình lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối?
Lời giải
Xét tam giác $AMN$ vuông tại $M$, gọi một cạnh hình chữ nhật bên ngoài lục giác bằng $x$ nên $MN=x$ với $x \in (0;2)$, đơn vị: mét.Vì $\Delta ABC$đều nên $\widehat{MAN}={{30}^{0}}$, do đó $AM=x\sqrt{3}$.
Do đó $EF=\frac{AB-2AM}{3}=\frac{2-2\sqrt{3}x}{3}$.
Ta có diện tích tam giác đều $OEF$:
${{S}_{OEF}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{2-2\sqrt{3}x}{3} \right)}^{2}}$.
Diện tích đáy của khối lăng trụ:
$S=6.{S}_{OEF}=\frac{\sqrt{3}}{6}\left( 12{{x}^{2}}-8\sqrt{3}x+4 \right)$.
Chiều cao $h$ của lăng trụ bằng cạnh của hình chữ nhật nên $h=x$.
Thể tích của khối lăng trụ $V=\frac{\sqrt{3}}{6}\left( 12{{x}^{3}}-8\sqrt{3}{{x}^{2}}+4x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\left( 12{{x}^{3}}-8\sqrt{3}{{x}^{2}}+4x \right)$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\left( 36{{x}^{2}}-16\sqrt{3}x+4 \right)$.
Bảng biến thiên:
${{V}_{\max }}=\frac{8}{81}\left( \text{m}^{3} \right)\approx 98,8 (\text{dm}^{3})$ tại $x=\frac{\sqrt{3}}{9}$.
