Đường tiệm cận xiên có cắt đồ thị hàm số không?

Đường tiệm cận xiên có cắt đồ thị hàm số không? Câu trả lời là có thể có , thậm chí có thể cắt tại vô số điểm . Dưới đây là một ví dụ về đồ ...

Đường tiệm cận xiên có cắt đồ thị hàm số không? Câu trả lời là có thể có, thậm chí có thể cắt tại vô số điểm. Dưới đây là một ví dụ về đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên cắt đồ thị tại vô số điểm.

Đề bài toán

Cho hàm số $y=x+\dfrac{\sin x}{x}$.
a) Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
b) Chứng tỏ đường tiệm cận xiên cắt đồ thị hàm số đã cho tại vô số điểm.

a) Tìm đường tiệm cận xiên

Tập xác định $D=(-\infty;0)\cup (0;+\infty)$.
Đồ thị:

Xét: $y-x=\dfrac{\sin x}{x}$.
Ta có $$-\dfrac{1}{|x|}\le \dfrac{\sin x}{x} \le \dfrac{1}{|x|}, \forall x \in D.$$ và $$\lim\limits_{x\to \pm \infty} (-\dfrac{1}{|x|})=\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{1}{|x|} =0$$ nên theo định lí kẹp, ta có $$\lim\limits_{x\to \pm \infty} [y-x]=\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin x}{x} =0$$ Do đó đường thẳng $\boxed{y=x}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Vô số giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và tiệm cận xiên
$$x+\dfrac{\sin x}{x}=x$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{x}=0$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ne 0\\ \sin x =0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow x=k\pi, k\in \mathbb{Z}^*.$$
Phương trình này có vô số nghiệm nên đường tiệm cận xiên cắt đồ thị hàm số tại vô số điểm, toạ độ các giao điểm là $(k\pi;k\pi), k\in \mathbb{Z}^*$.