Toán thực tế HSG lớp 9: Tiệm nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Bài tập Đề thi chọn HSG Toán 9 Hà Nội năm 2026 – Bài 2.1 Một tiệm bánh ngọt dự định sản xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đườn...

Bài tập

Đề thi chọn HSG Toán 9 Hà Nội năm 2026 – Bài 2.1
Một tiệm bánh ngọt dự định sản xuất hai loại bánh cho một đơn hàng.
Lượng đường cần cho mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là $40\,\text{g}$ và $60\,\text{g}$.
Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là $12$ nghìn đồng và $15$ nghìn đồng.
Biết rằng tiệm chỉ còn $14\,\text{kg}$ đường để làm bánh và tiệm phải làm ít nhất $80$ chiếc bánh loại I và $100$ chiếc bánh loại II.
Hỏi tiệm nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải

Cách 1 (Lớp 9).

Gọi $x$ là số bánh loại I, $y$ là số bánh loại II cần làm.
Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}, \; x \ge 80,\; y \ge 100.$
Do lượng đường còn lại là $14\,\text{kg} = 14000\,\text{g}$ nên ta có $40x + 60y \le 14000$, hay $2x + 3y \le 700$.
Lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là $P = 12x + 15y$.
Từ điều kiện $2x + 3y \le 700$ suy ra $3y \le 700 - 2x$.
Do đó $P = 12x + 15y$ $ \le 12x + 5(700 - 2x) = 2x + 3500$.
Mặt khác, từ $y \ge 100$ suy ra $2x + 3y \ge 2x + 300$.
Kết hợp với $2x + 3y \le 700$ ta được $2x + 300 \le 700 \Rightarrow x \le 200$.
Suy ra $P \le 2x + 3500 \le 2 \cdot 200 + 3500 = 3900$.
Dấu "$=$'' xảy ra khi và chỉ khi $x = 200,\; y = 100$.
Vậy tiệm nên làm $\boxed{200}$ bánh loại I và $\boxed{100}$ bánh loại II để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Cách 2 (Lớp 10).

Xét hệ bất phương trình:
$\begin{cases} x \ge 80\\ y \ge 100\\ 2x + 3y \le 700. \end{cases}$
Miền nghiệm là tam giác $ABC$ (hình vẽ bên dưới), do đó giá trị lớn nhất của $P=12x+15y$ đạt tại một trong các đỉnh của miền nghiệm.

Tính lợi nhuận tại các đỉnh (lưu ý toạ độ của các đỉnh đều nguyên):
* Tại $A(80,100)$: $P = 12\cdot80 + 15\cdot100 = 2460;$
* Tại $C(80,180)$: $P = 12\cdot80 + 15\cdot180 = 3660;$
* Tại $B(200,100)$: $P = 12\cdot200 + 15\cdot100 = 3900.$
Vậy lợi nhuận lớn nhất là $P_{max}=\boxed{3900}$ (nghìn đồng) đạt được khi $x = 200,\ y = 100.$
Tiệm nên làm $\boxed{200}$ bánh loại I và $\boxed{100}$ bánh loại II để lợi nhuận thu được là lớn nhất.