Bài toán. (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Hà Nội) Hai bạn An và Bình cùng nhau tiết kiệm tiền để ủng hộ người nghèo. Biết rằng hai bạn...
Bài toán. (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Hà Nội)
Hai bạn An và Bình cùng nhau tiết kiệm tiền để ủng hộ người nghèo.Biết rằng hai bạn bắt đầu tiết kiệm vào cùng một ngày. Sau $365$ ngày, mỗi bạn đều tiết kiệm được $1\,000\,000$ đồng.
Chứng minh rằng trong $365$ ngày nói trên, tồn tại $183$ ngày mà tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn trong $183$ ngày đó không nhỏ hơn $500\,000$ đồng.
Lời giải
Gọi $a_1,a_2,\dots,a_{365}$ lần lượt là số tiền An tiết kiệm trong các ngày $1,2,\dots,365$ và $b_1,b_2,\dots,b_{365}$ lần lượt là số tiền Bình tiết kiệm trong các ngày $1,2,\dots,365$.Theo giả thiết: $ a_1+a_2+\cdots+a_{365}=1\,000\,000,$ $ b_1+b_2+\cdots+b_{365}=1\,000\,000. $
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $ a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_{365}. $
Xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1
Nếu $ b_1+b_3+\cdots+b_{365} \ge 500\,000, $ ta xét $183$ ngày: $1,3,5,\dots,365$.Do $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_{365}$ nên ta có
$ a_1 \ge \dfrac{a_1+a_2}{2},$ $ a_3 \ge \dfrac{a_3+a_4}{2},\ \dots,$ $ a_{363} \ge \dfrac{a_{363}+a_{364}}{2},$ $ a_{365} \ge \dfrac{a_{365}}{2}. $
Cộng các bất đẳng thức trên, suy ra $ a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{365} \ge \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{365}}{2} = 500\,000. $
Vậy trong $183$ ngày $1,3,5,\dots,365$, tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn không nhỏ hơn $500\,000$ đồng.
Trường hợp 2
Nếu $ b_2+b_4+\cdots+b_{364} \ge 500\,000, $ ta xét $183$ ngày: $1; 2,4,6,\dots,364$.Do $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_{365}$ nên ta có
$ a_1 \ge \dfrac{a_1}{2},$ $ a_2 \ge \dfrac{a_2+a_3}{2},$ $ a_4 \ge \dfrac{a_4+a_5}{2},\ \dots,$ $ a_{364} \ge \dfrac{a_{364}+a_{365}}{2}. $
Suy ra $ a_1+a_2+a_4+\cdots+a_{364} \ge \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{365}}{2} = 500\,000. $
Vậy trong $183$ ngày $1;2,4,6,\dots,364$, tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn không nhỏ hơn $500\,000$ đồng.
