Một đẳng thức giữa lượng giác và tổ hợp, lời giải dùng đến số phức

BÀI TOÁN Chứng minh rằng: $$\cos^nx.\cos nx=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\cos 2kx$$ LỜI GIẢI Sau đây là lời giải có dùng đến...

BÀI TOÁN

Chứng minh rằng:
$$\cos^nx.\cos nx=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\cos 2kx$$

LỜI GIẢI

Sau đây là lời giải có dùng đến số phức:
Đặt $$z=\cos x+i\sin x$$
$$A=\sum_{k=0}^nC^k_n\cos 2kx$$
$$B=\sum_{k=0}^n C^k_n\sin 2kx$$
Khi đó, áp dụng công thức Moivre, ta được:
$$A+iB=\sum_{k=0}^n C^k_n z^{2k}=(1+z^2)^n \\ =(1+\cos 2x+i\sin 2x)^n \\ =\left(2\cos^2x+2i\sin x\cos x\right)^n \\ =2^n\cos^n x(\cos x+i\sin x)^n \\ =2^n\cos^n x(\cos nx+i\sin nx)$$
So sánh phần thực, ta được
$$A=2^n \cos^{n}x.\cos nx$$
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

P.S: Qua lời giải này ta có thêm một đẳng thức tương tự
$$\cos^nx.\sin nx=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k} \sin 2kx$$
Bạn đọc nào có lời giải nào không dùng đến số phức không?