Công thức tính nhanh diện tích tam giác theo tọa độ 3 đỉnh của nó, cong thuc dien tich tam giac theo toa do trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy.
Hình thành công thức (chứng minh)
Sách giáo khoa Toán 10 cung cấp 5 công thức tính diện tích tam giác cơ bản trong hình học phẳng (thuần túy). Trong đó có công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:
Chốt công thức theo toạ độ 3 đỉnh
Công thức cuối cùng là một công thức đẹp, giúp tính nhanh diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh của nó. Tuy nhiên, để dễ nhớ và ít nhầm lẫn, bạn đọc nên ghi nhớ công thức ngay phía trên.
Ngoài ra, nếu khai triển công thức cuối cùng trong ảnh trên, ta được công thức cũng dễ nhớ như sau:
\[\boxed{
S_{ABC}=\frac12\left|
x_1y_2-x_2y_1
\right|.}
\]
\[\boxed{
S_{ABC}=\frac12\left|
x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)
\right|.}
\]
Ví dụ tính nhanh diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxy
Ta sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác có ba đỉnh
\(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\), \(C(x_C;y_C)\):
\[
S_{ABC}=\frac12\left|
x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)
\right|.
\]
Ví dụ 1. Đỉnh \(A\) trùng gốc tọa độ
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A(0;0)\), \(B(4;1)\), \(C(2;5)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Lời giải.
Áp dụng công thức tính nhanh:
\[ \begin{aligned} S_{ABC} &=\frac12\left| 0(1-5)+4(5-0)+2(0-1) \right|\\ &=\frac12|20-2|\\ &=9. \end{aligned} \]Vậy diện tích tam giác là
\[ \boxed{S_{ABC}=9}. \]Lưu ý.
Nếu áp dụng công thức tính nhanh phía trên, theo toạ độ hai vec-tơ \(\vec{AB}=(4;1),\vec{AC}=(2;5)\), ta có ngay:
\[ \begin{aligned} S_{ABC} &=\frac12\left| 4\times5-1\times2 \right|\\ &=\boxed{9}.\end{aligned} \]Ví dụ 2. Ba đỉnh bất kỳ
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A(1;2)\), \(B(5;3)\), \(C(2;7)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Lời giải 1.
Áp dụng công thức tính nhanh:
\[ \begin{aligned} S_{ABC} &=\frac12\left| 1(3-7)+5(7-2)+2(2-3) \right|\\ &=\frac12|-4+25-2|\\ &=\frac{19}{2}. \end{aligned} \]Vậy diện tích tam giác là
\[ \boxed{S_{ABC}=\frac{19}{2}}. \]Lời giải 2.
Áp dụng công thức tính nhanh theo toạ độ vec-tơ:
\[ \begin{aligned} \vec{AB}&=(4;1)\\ \vec{AC}&=(1;5)\\ S_{ABC} &=\frac12\left| 4\times5-1\times1 \right|\\ &=\boxed{\frac{19}{2}}. \end{aligned} \]
