Đếm số tam giác tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng song song

Phương pháp giải bài toán đếm số hình tam giác ở bậc tiểu học, trung học cơ sở, thpt, lời giải bài toán đếm tam giác

Bài toán đếm số tam giác thường gặp ở cả bậc tiểu học và trung học trong sách toán của hầu hết quốc gia và thường xuất hiện các kỳ thi học sinh giỏi. Với mỗi bậc học ta có các cách tiếp cận và hướng dẫn giải khác nhau.

Đề bài toán đếm số tam giác tạo thành từ các điểm trên 2 đường thẳng song song

Cho 2 đường thẳng song song. Trên mỗi đường thẳng ta lấy 6 điểm phân biệt (hình vẽ). Tìm số tam giác có thể tạo thành bằng cách nối 3 trong số 12 điểm nêu trên.

Lời giải bài toán đếm số tam giác

Tùy đối tượng học sinh mà ta có hướng giải phù hợp.

Cách giải 1

Mỗi điểm trên đường thẳng a sẽ tạo được (5+4+3+2+1)=15 tam giác với 6 điểm trên đường thẳng b (với học sinh tiểu học, ta có thể vẽ hình là liệt kê theo thứ tự "tam giác đơn", "tam giác ghép 2",...). Trên a có 6 điểm nên tạo được 6*15=90 tam giác.
Tương tự cho 6 điểm trên b, ta được 90 tam giác nữa. Tổng cộng ta có 180 tam giác được tạo thành từ 12 điểm đã cho.

Cách giải 2

- Số cách chọn 3 điểm bất kì từ 12 điểm đã cho: 12C3=220 cách (12C3 là kí hiệu số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử).
- Trong đó số cách chọn cho ta 3 điểm thẳng hàng là: 2*6C3=40 cách.
- Do đó số tam giác tạo thành từ 12 điểm đã cho là: 220-40=180.

Cách giải 3

Mỗi tam giác tạo thành từ 1 điểm trên đường này và 2 điểm trên đường kia.
- Chọn 1 điểm trên đường thứ nhất: có 6 cách,
- Chọn 2 điểm trên đường thứ hai: có 6C2=15 cách
- Vậy có 6*15=90 cách.
Vì 2 đường thẳng có vai trò như nhau nên tổng số cách chọn là 90 x 2 = 180. Do đó có 180 tam giác được tạo thành từ 12 điểm đã cho.

Bài tập tương tự

Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a ta lấy 7 điểm phân biệt, trên đường thẳng b ta lấy 5 điểm phân biệt. Tìm số tam giác tạo thành từ 12 điểm đã cho.
Đáp số: 7*5C2+5*7C2 = 175 tam giác.