Sáng ngày 29/3/2019, tại trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam, kỳ thi chọn đội tuyển Toán học Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế IMO 2019...
Sáng ngày 29/3/2019, tại trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam, kỳ thi chọn đội tuyển Toán học Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế IMO 2019 đã diễn ra với 49 thí sinh tham dự. Gồm 1 học sinh đạt giải kì thi IMO năm ngoái (Phan Minh Đức, HCB IMO 2018, đặc cách) và 7 học sinh đạt giải nhất, 41 em đạt giải nhì của kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2019.
Dưới đây là đề thi môn Toán Vietnam TST 2019, ngày thứ nhất và ngày thi thứ hai.
ĐỀ THI TOÁN VIETNAM TST 2019 NGÀY 1
Gồm 3 câu. Mỗi câu 7 điểm. Thời gian làm bài: 270 phút.
Bài 1.
Trong một quốc gia có n≥2 thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho các đường bay trên cho một số hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
ii) Di chuyển bằng đường bay của 1 hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ 1 thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép tối đa cho bao nhiêu hãng hàng không?
Bài 2.
Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây
có n nghiệm thực phân biệt.
Bài 3.
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp trong đường tròn (O) có M là trung điểm BC, trực tâm H. Gọi D là điểm thuộc tia đổi của tia AH sao cho DM=BC/2 và D′ là điểm đối xứng với D qua BC. Giả sử AO cắt MD tại X.
a) Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm của D′X.
b) Định nghĩa các điểm E,F tương tự điểm D; các điểm Y,Z định nghĩa tương tự điểm X. Gọi S là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) tại B,C và G là hình chiếu của trung điểm AS lên đường thẳng AO. Chứng minh rằng tồn tại một điểm có cùng phương tích với cả bốn đường tròn (SGO),(BYE),(CFZ),(O).
Bài 4.
Tìm các bộ ba nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn
Bài 5.
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Giả sử BI cắt AC ở E và CI cắt AB ở F. Đường tròn qua E, tiếp xúc với OB tại B cắt (O) tại M. Đường tròn qua F tiếp xúc với OC tại C cắt (O) tại N. Các đường thẳng ME,NF cắt lại (O) lần lượt tại P,Q. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng PQ cắt BC,EF lần lượt tại G,H. Chứng minh rằng trung tuyến qua G của tam giác GHK thì vuông góc với đường thẳng OI.
Bài 6.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ x=1 trên trục số. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ x=a, con bọ có thể nhảy đến vị trí có tọa độ x=a+2 hoặc x=a/2. Chứng minh rằng có tất cả Fn+4−(n+4) vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá n bước nhảy, trong đó (Fn) là dãy Fibonacci xác định bởi F0=F1=1, Fn=Fn−1+Fn−2 với n≥2.
Sáu thí sinh vượt qua được kì thi tuyển chọn này sẽ đại diện cho Việt Nam dự thi Olympic Toán học Quốc tế diễn ra từ 11/7 đến 22/7/2019 tại vương quốc Anh.
Dưới đây là đề thi môn Toán Vietnam TST 2019, ngày thứ nhất và ngày thi thứ hai.
ĐỀ THI TOÁN VIETNAM TST 2019 NGÀY 1
Gồm 3 câu. Mỗi câu 7 điểm. Thời gian làm bài: 270 phút.
Bài 1.
Trong một quốc gia có n≥2 thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho các đường bay trên cho một số hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
ii) Di chuyển bằng đường bay của 1 hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ 1 thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép tối đa cho bao nhiêu hãng hàng không?
Bài 2.
Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây
có n nghiệm thực phân biệt.
Bài 3.
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp trong đường tròn (O) có M là trung điểm BC, trực tâm H. Gọi D là điểm thuộc tia đổi của tia AH sao cho DM=BC/2 và D′ là điểm đối xứng với D qua BC. Giả sử AO cắt MD tại X.
a) Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm của D′X.
b) Định nghĩa các điểm E,F tương tự điểm D; các điểm Y,Z định nghĩa tương tự điểm X. Gọi S là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) tại B,C và G là hình chiếu của trung điểm AS lên đường thẳng AO. Chứng minh rằng tồn tại một điểm có cùng phương tích với cả bốn đường tròn (SGO),(BYE),(CFZ),(O).
ĐỀ THI TOÁN VIETNAM TST 2019 ngày thi thứ hai (30/3/2019)
Đề ngày 2 vẫn gồm 3 câu. Mỗi câu 7 điểm.Bài 4.
Tìm các bộ ba nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn
Bài 5.
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Giả sử BI cắt AC ở E và CI cắt AB ở F. Đường tròn qua E, tiếp xúc với OB tại B cắt (O) tại M. Đường tròn qua F tiếp xúc với OC tại C cắt (O) tại N. Các đường thẳng ME,NF cắt lại (O) lần lượt tại P,Q. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng PQ cắt BC,EF lần lượt tại G,H. Chứng minh rằng trung tuyến qua G của tam giác GHK thì vuông góc với đường thẳng OI.
Bài 6.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ x=1 trên trục số. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ x=a, con bọ có thể nhảy đến vị trí có tọa độ x=a+2 hoặc x=a/2. Chứng minh rằng có tất cả Fn+4−(n+4) vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá n bước nhảy, trong đó (Fn) là dãy Fibonacci xác định bởi F0=F1=1, Fn=Fn−1+Fn−2 với n≥2.
Sáu thí sinh vượt qua được kì thi tuyển chọn này sẽ đại diện cho Việt Nam dự thi Olympic Toán học Quốc tế diễn ra từ 11/7 đến 22/7/2019 tại vương quốc Anh.