Vì sao Toán học lại phức tạp đến thế? Đó là một câu hỏi mà nhiều học sinh sẽ hỏi khi cố gắng giải một bài tích phân đặc biệt rắc rối, và là ...
Vì sao Toán học lại phức tạp đến thế? Đó là một câu hỏi mà nhiều học sinh sẽ hỏi khi cố gắng giải một bài tích phân đặc biệt rắc rối, và là điều mà giáo viên sẽ lặp lại khi đánh giá hoặc chấm các bài kiểm tra.
Không phải lúc nào mọi việc cũng diễn ra theo cách này. Có nhiều lĩnh vực toán học xuất phát từ các bài toán thực tế, trước khi các quy tắc và khái niệm cơ bản được xác định. Các quy tắc và khái niệm được định nghĩa như các cấu trúc trừu tượng. Ví dụ, đại số - bộ môn toán sử dụng các chữ cái và ký tự khái quát khác để biểu diễn các con số, đại lượng trong công thức, phương trình - nảy sinh từ việc giải các bài toán số học. Hình học xuất hiện khi con người tìm cách giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và diện tích trong thực tế.
Quá trình dịch chuyển từ cụ thể sang kịch bản trừu tượng được gọi là trừu tượng hóa, một cách gọi phù hợp vừa đủ. Bản chất cơ sở của một khái niệm toán có thể được rút ra thông qua sự trừu tượng hóa. Con người không còn phải phụ thuộc vào các đối tượng thực tế để giải một bài toán.
Giờ đây, họ có thể khái quát hóa để có những ứng dụng rộng hơn hoặc đối chiếu nó với các cấu trúc khác để làm rõ những hiện tượng tương tự. Một ví dụ là việc cộng các số nguyên, phân số, số phức, vector, ma trận. Cùng một khái niệm nhưng ứng dụng của phép cộng cho từng loại số là khác nhau.
Sự tiến hóa này là cần thiết cho sự phát triển của toán học, và cũng quan trọng đối với các ngành khoa học khác.
Vì sao sự tiến hóa này lại quan trọng? Vì sự gia tăng tính trừu tượng trong toán học sẽ giúp các ngành khác như hóa học, vật lý, thiên văn, địa chất, khí tượng học… có thể giải thích nhiều loại hiện tượng vật lý phức tạp xảy ra trong tự nhiên. Nếu bạn nắm bắt được quá trình trừu tượng hóa trong toán học, nó sẽ trang bị cho bạn hiểu rõ hơn sự trừu tượng diễn ra trong những bộ môn khoa học khó nhằn khác như hóa học hay vật lý.
Ví dụ sớm nhất về sự trừu tượng là khi con người học đếm trước khi các ký hiệu ra đời. Ví dụ, một người chăn cừu cần theo dõi đàn cừu của mình nhưng không có bất kỳ hệ thống ký hiệu nào tương tự như các con số. Vậy, anh ta sẽ làm điều này như thế nào để đảm bảo là không có chú cừu nào bỏ đi hay bị đánh cắp?
Một giải pháp là tìm một số viên đá, cho đàn cừu di chuyển đến một khu vực khép kín từng con một. Mỗi lần một con cừu đi qua, anh ta xếp ra một viên đá. Khi tất cả cừu đã đi qua, anh ta bỏ đi số đá dư và còn lại một đống đá biểu diễn số lượng đàn cừu.
Mỗi lần anh ta cần đếm cừu, anh bỏ dần các viên đá ra khỏi đống đá, mỗi viên ứng với một con cừu. Nếu anh ta còn đá, điều đó có nghĩa là một số cừu đã bỏ đi hoặc có thể bị ăn cắp. Sự tương ứng một-một này đã giúp người chăn cừu theo dõi đàn cừu của mình.
Ngày nay, chúng ta dùng các con số Ả rập (còn được gọi là các ký hiệu số Ả rập-Hindu: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 để biểu diễn bất kỳ số nguyên nào.
Trên đây là một ví dụ khác về sự trừu tượng, và nó rất mạnh mẽ. Nó có nghĩa là chúng ta có thể xoay sở với mọi số lượng cừu, bất chấp việc chúng ta có bao nhiêu viên đá. Chúng ta đã dịch chuyển từ các đối tượng thực tiễn-đá, cừu-đến cái trừu tượng. Có một sức mạnh thật sự trong việc này: chúng ta đã tạo ra một không gian để các quy tắc là tối thiểu nhưng các trò chơi có thể chơi vẫn là vô tận.
Một ưu điểm khác của sự trừu tượng là nó thể hiện một sự kết nối sâu sắc hơn giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả trong một lĩnh vực có thể đề ra những khái niệm và ý tưởng cần được khám phá trong một lĩnh vực khác. Đôi khi, các phương pháp và kỹ thuật được phát triển trong một lĩnh vực có thể được áp dụng trực tiếp vào một lĩnh vực khác để tạo ra những kết quả tương tự.
Dĩ nhiên, sự trừu tượng cũng có những nhược điểm của nó. Một số bộ môn toán được dạy ở bậc đại học như tích phân, giải tích thực, đại số tuyến tính, topo học, lý thuyết nhóm, giải tích chức năng, lý thuyết tập hợp, đó là những ví dụ về sự trừu tượng hóa rất cao cấp.
Học các khái niệm này có thể khá là khó: khó hình dung và các quy tắc tương đối trái tự nhiên để chúng ta thao tác hay lập luận. Điều này có nghĩa là, sinh viên cần có trình độ toán học nhất định để xử lý sự dịch chuyển từ cái cụ thể sang cái trừu tượng.
Nhiều học sinh trung học, đặc biệt là học sinh đến từ các nước đang phát triển, bước vào đại học với trình độ trí tuệ để xử lý sự trừu tượng dưới mức phát triển. Đó là do cách dạy toán ở bậc trung học. Tôi đã thấy nhiều học sinh vật lộn, bỏ cuộc hoặc thậm chí không cố gắng học toán vì chúng không được trao những công cụ đúng ở bậc đại học và nghĩ rằng, chỉ là chúng "không thể làm toán".
Các giáo viên và giảng viên có thể cải thiện tư duy trừu tượng này bằng cách ý thức về sự trừu tượng hóa trong bộ môn của họ và học cách minh họa các khái niệm trừu tượng qua các ví dụ cụ thể. Các thí nghiệm cũng giúp cho học sinh làm quen và hiểu rõ các khái niệm trừu tượng.
Nguyên tắc giảng dạy này đã được áp dụng trong một số hệ thống trường như Montessori để giúp học sinh cải thiện tư duy trừu tượng. Điều đó không chỉ hướng dẫn học sinh vượt qua mê cung của những sự trừu tượng toán học tốt hơn mà cũng có thể được áp dụng vào các ngành khoa học khác.
Bài viết của Harry Zandberg Wiggins, một người đam mê toán và là giảng viên toán đại học Pretoria, một trong những trường đại học nghiên cứu công lập hàng đầu Nam Phi.
Không phải lúc nào mọi việc cũng diễn ra theo cách này. Có nhiều lĩnh vực toán học xuất phát từ các bài toán thực tế, trước khi các quy tắc và khái niệm cơ bản được xác định. Các quy tắc và khái niệm được định nghĩa như các cấu trúc trừu tượng. Ví dụ, đại số - bộ môn toán sử dụng các chữ cái và ký tự khái quát khác để biểu diễn các con số, đại lượng trong công thức, phương trình - nảy sinh từ việc giải các bài toán số học. Hình học xuất hiện khi con người tìm cách giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và diện tích trong thực tế.
Trừu tượng hóa - Khái quát hóa
Quá trình dịch chuyển từ cụ thể sang kịch bản trừu tượng được gọi là trừu tượng hóa, một cách gọi phù hợp vừa đủ. Bản chất cơ sở của một khái niệm toán có thể được rút ra thông qua sự trừu tượng hóa. Con người không còn phải phụ thuộc vào các đối tượng thực tế để giải một bài toán.
Giờ đây, họ có thể khái quát hóa để có những ứng dụng rộng hơn hoặc đối chiếu nó với các cấu trúc khác để làm rõ những hiện tượng tương tự. Một ví dụ là việc cộng các số nguyên, phân số, số phức, vector, ma trận. Cùng một khái niệm nhưng ứng dụng của phép cộng cho từng loại số là khác nhau.
Sự tiến hóa này là cần thiết cho sự phát triển của toán học, và cũng quan trọng đối với các ngành khoa học khác.
Vì sao sự tiến hóa này lại quan trọng? Vì sự gia tăng tính trừu tượng trong toán học sẽ giúp các ngành khác như hóa học, vật lý, thiên văn, địa chất, khí tượng học… có thể giải thích nhiều loại hiện tượng vật lý phức tạp xảy ra trong tự nhiên. Nếu bạn nắm bắt được quá trình trừu tượng hóa trong toán học, nó sẽ trang bị cho bạn hiểu rõ hơn sự trừu tượng diễn ra trong những bộ môn khoa học khó nhằn khác như hóa học hay vật lý.
Từ thực tiễn đến cái trừu tượng
Ví dụ sớm nhất về sự trừu tượng là khi con người học đếm trước khi các ký hiệu ra đời. Ví dụ, một người chăn cừu cần theo dõi đàn cừu của mình nhưng không có bất kỳ hệ thống ký hiệu nào tương tự như các con số. Vậy, anh ta sẽ làm điều này như thế nào để đảm bảo là không có chú cừu nào bỏ đi hay bị đánh cắp?
Một giải pháp là tìm một số viên đá, cho đàn cừu di chuyển đến một khu vực khép kín từng con một. Mỗi lần một con cừu đi qua, anh ta xếp ra một viên đá. Khi tất cả cừu đã đi qua, anh ta bỏ đi số đá dư và còn lại một đống đá biểu diễn số lượng đàn cừu.
Mỗi lần anh ta cần đếm cừu, anh bỏ dần các viên đá ra khỏi đống đá, mỗi viên ứng với một con cừu. Nếu anh ta còn đá, điều đó có nghĩa là một số cừu đã bỏ đi hoặc có thể bị ăn cắp. Sự tương ứng một-một này đã giúp người chăn cừu theo dõi đàn cừu của mình.
Ngày nay, chúng ta dùng các con số Ả rập (còn được gọi là các ký hiệu số Ả rập-Hindu: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 để biểu diễn bất kỳ số nguyên nào.
Trên đây là một ví dụ khác về sự trừu tượng, và nó rất mạnh mẽ. Nó có nghĩa là chúng ta có thể xoay sở với mọi số lượng cừu, bất chấp việc chúng ta có bao nhiêu viên đá. Chúng ta đã dịch chuyển từ các đối tượng thực tiễn-đá, cừu-đến cái trừu tượng. Có một sức mạnh thật sự trong việc này: chúng ta đã tạo ra một không gian để các quy tắc là tối thiểu nhưng các trò chơi có thể chơi vẫn là vô tận.
Một ưu điểm khác của sự trừu tượng là nó thể hiện một sự kết nối sâu sắc hơn giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả trong một lĩnh vực có thể đề ra những khái niệm và ý tưởng cần được khám phá trong một lĩnh vực khác. Đôi khi, các phương pháp và kỹ thuật được phát triển trong một lĩnh vực có thể được áp dụng trực tiếp vào một lĩnh vực khác để tạo ra những kết quả tương tự.
Khái niệm khó hơn cần được dạy kỹ hơn
Dĩ nhiên, sự trừu tượng cũng có những nhược điểm của nó. Một số bộ môn toán được dạy ở bậc đại học như tích phân, giải tích thực, đại số tuyến tính, topo học, lý thuyết nhóm, giải tích chức năng, lý thuyết tập hợp, đó là những ví dụ về sự trừu tượng hóa rất cao cấp.
Học các khái niệm này có thể khá là khó: khó hình dung và các quy tắc tương đối trái tự nhiên để chúng ta thao tác hay lập luận. Điều này có nghĩa là, sinh viên cần có trình độ toán học nhất định để xử lý sự dịch chuyển từ cái cụ thể sang cái trừu tượng.
Nhiều học sinh trung học, đặc biệt là học sinh đến từ các nước đang phát triển, bước vào đại học với trình độ trí tuệ để xử lý sự trừu tượng dưới mức phát triển. Đó là do cách dạy toán ở bậc trung học. Tôi đã thấy nhiều học sinh vật lộn, bỏ cuộc hoặc thậm chí không cố gắng học toán vì chúng không được trao những công cụ đúng ở bậc đại học và nghĩ rằng, chỉ là chúng "không thể làm toán".
Các giáo viên và giảng viên có thể cải thiện tư duy trừu tượng này bằng cách ý thức về sự trừu tượng hóa trong bộ môn của họ và học cách minh họa các khái niệm trừu tượng qua các ví dụ cụ thể. Các thí nghiệm cũng giúp cho học sinh làm quen và hiểu rõ các khái niệm trừu tượng.
Nguyên tắc giảng dạy này đã được áp dụng trong một số hệ thống trường như Montessori để giúp học sinh cải thiện tư duy trừu tượng. Điều đó không chỉ hướng dẫn học sinh vượt qua mê cung của những sự trừu tượng toán học tốt hơn mà cũng có thể được áp dụng vào các ngành khoa học khác.
Bài viết của Harry Zandberg Wiggins, một người đam mê toán và là giảng viên toán đại học Pretoria, một trong những trường đại học nghiên cứu công lập hàng đầu Nam Phi.
Theo VNReview. Người đăng: Dịu Nguyễn.
