Bài toán câu cá là một bài toán hay, được ra trong một kỳ thi học sinh giỏi toán nước Anh và nổi tiếng nhờ một lời giải sai của cậu bé Paul ...
Bài toán câu cá là một bài toán hay, được ra trong một kỳ thi học sinh giỏi toán nước Anh và nổi tiếng nhờ một lời giải sai của cậu bé Paul Dirac, người sau này trở thành một nhà vật lý lý thuyết lừng danh và từng đoạt giải Nobel năm 1933.
Ba người đi câu và họ câu được một số cá. Trời tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy đến bờ sông, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt 1 con xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ 2 thức dậy, đến bên bờ sông, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá thấy chia 3 dư 1, rồi vứt 1 con xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 3 thức dậy, đến bên đống cá, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về. Cho biết họ là những người câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu con cá?
Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trên bờ sông sau khi người thứ 3 lấy. Từ các giả thiết ta tính được: x=(27n + 38)/8 với n=8m/3 – 2 trong đó m là bội số của 3.
Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất: m=0. Từ đó có đáp số: n = -2 và x = -2.
Vậy cả 3 người câu được (-2) con cá.
Tất nhiên kết quả Paul Dirac đưa ra là sai bởi số cá câu được không thể là số âm.
Ta có thể diễn giải lời giải của Paul như sau: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm được (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!
Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!
Ở trên, nếu chọn m=3 thì được n=6 và x=25. Tức cả 3 người câu được 25 con cá.
Gọi số cá người thứ 3 mang về là x, vậy người thứ 3 thức dậy thấy 3x+1 con cá.
Người thứ 2 đã để lại 3x+1 con cá đó và lấy đi (3x+1)/2 con cá. Do đó, khi thức dậy người thứ 2 đã thấy (9x+5)/2 con cá.
Người thứ nhất đã để lại (9x+5)/2 con cá và lấy đi (9x+5)/4 con cá, vậy khi thức dậy người thứ nhất thấy trong giỏ có (27x+19)/4 con cá.
Vì số cá phải là số tự nhiên nên (27x+19)/4 phải là số tự nhiên.
Phân tích (27x+19)/4=(6x+4)+(3x+3)/4, suy ra 3x+3 phải chia hết cho 4, do đó x chia 4 dư 3.
Họ câu tồi nên chọn x=3, từ đó tính được số cá ban đầu là 25 con.
Đề bài toán câu cá
Ba người đi câu và họ câu được một số cá. Trời tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy đến bờ sông, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt 1 con xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ 2 thức dậy, đến bên bờ sông, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá thấy chia 3 dư 1, rồi vứt 1 con xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 3 thức dậy, đến bên đống cá, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về. Cho biết họ là những người câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu con cá?
Lời giải của Paul Dirac
Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trên bờ sông sau khi người thứ 3 lấy. Từ các giả thiết ta tính được: x=(27n + 38)/8 với n=8m/3 – 2 trong đó m là bội số của 3.
Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất: m=0. Từ đó có đáp số: n = -2 và x = -2.
Vậy cả 3 người câu được (-2) con cá.
Diễn giải lại lời giải của Dirac
Ta có thể diễn giải lời giải của Paul như sau: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm được (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!
Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!
Đáp án hợp lệ
Ở trên, nếu chọn m=3 thì được n=6 và x=25. Tức cả 3 người câu được 25 con cá.
Một lời giải khác
Gọi số cá người thứ 3 mang về là x, vậy người thứ 3 thức dậy thấy 3x+1 con cá.
Người thứ 2 đã để lại 3x+1 con cá đó và lấy đi (3x+1)/2 con cá. Do đó, khi thức dậy người thứ 2 đã thấy (9x+5)/2 con cá.
Người thứ nhất đã để lại (9x+5)/2 con cá và lấy đi (9x+5)/4 con cá, vậy khi thức dậy người thứ nhất thấy trong giỏ có (27x+19)/4 con cá.
Vì số cá phải là số tự nhiên nên (27x+19)/4 phải là số tự nhiên.
Phân tích (27x+19)/4=(6x+4)+(3x+3)/4, suy ra 3x+3 phải chia hết cho 4, do đó x chia 4 dư 3.
Họ câu tồi nên chọn x=3, từ đó tính được số cá ban đầu là 25 con.
Tổng hợp: Tố Uyên.
