Công thức "bẻ đôi tọa độ" phương trình tiếp diện của mặt cầu

Trong mặt phẳng, quy tắc bẻ đôi tọa độ đã được ứng dụng nhiều trong việc viết phương trình tiếp tuyến của các đường: đường tròn , elip, hype...

Trong mặt phẳng, quy tắc bẻ đôi tọa độ đã được ứng dụng nhiều trong việc viết phương trình tiếp tuyến của các đường: đường tròn, elip, hyperbol, parabol. Bài viết này tiếp tục áp dụng quy tắc bẻ đôi (còn gọi là "bổ đôi", "phân đôi") tọa độ để hình thành công thức phương trình tiếp diện của mặt cầu (mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm thuộc mặt cầu, cho trước).

Bài toán viết phương trình tiếp diện của mặt cầu: Dạng 1

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $$(S):(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$
Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $M(x_0;y_0;z_0)\in (S)$
là: $$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)+(z_0-c)(z-c)=R^2.$$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x−1)^2+(y+3)^2+(z−2)^2=49.$
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(7;-1;5)$.

Giải: Ta thấy $M \in (S)$. Áp dụng công thức bẻ đôi tọa độ ta được phương trình tiếp diện tại $M$ là:
$$(7-1)(x−1)+(-1+3)(y+3)+(5-2)(z−2)=49.$$
Làm gọn ta được đáp số: $6x+2y+3z-55=0$.

Bài toán viết phương trình tiếp diện của mặt cầu: Dạng 2

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$$
Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $M(x_0;y_0;z_0)\in (S)$
là: $$x_0x+y_0y+z_0z+a(x+x_0)+b(y+y_0)+c(z+z_0)+d=0.$$

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 6y - 4z - 35 = 0.$
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(7;-1;5)$.

Giải:
Ta thấy $M \in (S)$. Áp dụng công thức bẻ đôi tọa độ ta được phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại $M$ là:
$$7x-y+5z-(x+7)+3(y-1)-2(z+5)-35=0.$$
Làm gọn ta được phương trình tiếp diện của mặt cầu tại $M: 6x+2y+3z-55=0$.

Nhận xét: Ví dụ 2 thực chất là Ví dụ 1 nhưng phương trình của $(S)$ viết dưới dạng khai triển.

Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 4z - 16 = 0.$
a) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M(1;2;3)$.
b) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại điểm $N(1;-3;-2)$.

Giải:
a) Ta thấy $M \in (S)$. Áp dụng công thức bẻ đôi tọa độ ta được phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại $M$ là:
$$1x+2y+3z-(x+1)-2(y+2)+2(z+3)-16=0.$$
Làm gọn ta được đáp số: $z-3=0$.
b) Ta thấy $N \in (S)$. Áp dụng công thức bẻ đôi tọa độ ta được tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $N$ có phương trình:
$$1x-3y-2z-(x+1)-2(y-3)+2(z-2)-16=0.$$
Làm gọn ta được: $y+3=0$.

Theo Math Vn. Người đăng: Sơn Phan.