Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2019-2020 có câu tổ hợp xác suất cực khó. Đó là câu 3a của đề thi diễ...
Đề bài toán xác suất khó
Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.
Hướng dẫn giải bài toán xác suất ở đề HSG tỉnh QB
1. Tính số phần tử của tập hợp $S$ và không gian mẫu
Tam giác đều $ABC$ có cạnh $8\text{ cm}$ được chia thành các tam giác đơn vị cạnh $1\text{ cm}$. Số điểm trên mỗi cạnh của tam giác là $8 + 1 = 9$ điểm.
Tổng số điểm của tập hợp $S$ là: $$|S| = 1 + 2 + 3 + \dots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45 \text{ (điểm)}$$
Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh từ 45 đỉnh thuộc $S$, số phần tử của không gian mẫu là: $$n(\Omega) = C_{45}^4 = 148.995$$
2. Tính số hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác $ABC$
Trong lưới tam giác đều, các cạnh của hình bình hành phải song song với các cạnh của tam giác $ABC$. Có 3 phương đường thẳng lưới, do đó có $C_3^2 = 3$ cặp phương có thể tạo thành hình bình hành.
Xét một cặp phương cố định (ví dụ phương song song với $AB$ và $AC$):
- Để hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác $ABC$, các đỉnh của nó không được nằm trên các cạnh $AB, BC, CA$.
- Điều này tương đương với việc chọn các đường thẳng lưới không bao gồm các đường biên ngoài cùng. Với cạnh $n=8$, số đường lưới khả dụng cho mỗi phương để tạo hình "lọt lòng" là $8$ đường (loại bỏ đường biên đáy tương ứng của mỗi phương).
- Số hình bình hành tạo bởi 2 phương trong lưới tam giác cạnh $n$ được tính theo công thức tổ hợp: $C_{n}^4$. Ở đây, để đảm bảo nằm trong miền trong, ta áp dụng cho hệ lưới tương ứng là $C_8^4$.
Số hình bình hành cho 1 cặp phương là: $$C_8^4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \text{ (hình)}$$
Vì có 3 cặp phương đối xứng nhau, tổng số hình bình hành thỏa mãn là: $$n(A) = 3 \times 70 = 210 \text{ (hình)}$$
3. Tính xác suất
Xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác $ABC$ là: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{210}{148.995} = \frac{14}{9933}$$
Đáp số
$P = \frac{14}{9933} \approx 0,001409$Xem đầy đủ đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2019-2020
