Trong bài đăng chứng minh 0,999... = 1, thành viên Giang To của Diễn đàn Toán học Việt Nam có giải thích thêm: Nhiều người cảm giác rằng ...
Trong bài đăng chứng minh 0,999... = 1, thành viên Giang To của Diễn đàn Toán học Việt Nam có giải thích thêm:
Bài này sẽ chứng minh rằng: Không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Mệnh đề 1. Cho hai số thực $a,b$. Nếu $a< b$ thì luôn tồn tại số thực $c$ sao cho $a< c< b.$
Chứng minh:
Đặt $$c=\frac{a+b}{2}$$
thì $a< c< b.$
(Thậm chí, bằng cách tương tự, ta có thể chỉ ra được vô số số thực $c$ thỏa mãn $a< c< b.$)
Mệnh đề 2. Không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Chứng minh:
Giả sử tồn tại số thực $c$ sao cho:
$$0,(9)< c< 1.$$ Xét dãy số $(u_n)$ $$u_1=0,9\\ u_2=0,99\\ u_3=0,999\\ ... \\ u_n=0,99...9$$
Rõ ràng $$u_n< c, \forall n \in \mathbb{N^*}.$$
Suy ra $$\lim_{n \to \infty} u_n \leq c.$$
Mà $$\lim_{n \to \infty} u_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}=\frac{9}{10}.\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=1.$$
Vậy $1 \leq c.$ Điều này trái với giả thiết ban đầu $c< 1.$ Do đó không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1. Mệnh đề 2 được chứng minh.
Từ mệnh đề 1 và 2 ta có thêm một cách chứng minh khác cho khẳng định: 0,(9)=1.
Nhiều người cảm giác rằng 0.(9)< 1 là do chưa để ý sự khác biệt giữa hữu hạn và vô hạn (có vô số chữ số 9). Thử đặt một câu hỏi khác: Nếu 0.(9)< 1, vậy số nào khác nằm giữa 2 số này? Có thể chứng minh số này không tồn tại, nên 0.(9)< 1 là sai.
Bài này sẽ chứng minh rằng: Không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Mệnh đề 1. Cho hai số thực $a,b$. Nếu $a< b$ thì luôn tồn tại số thực $c$ sao cho $a< c< b.$
Chứng minh:
Đặt $$c=\frac{a+b}{2}$$
thì $a< c< b.$
(Thậm chí, bằng cách tương tự, ta có thể chỉ ra được vô số số thực $c$ thỏa mãn $a< c< b.$)
Mệnh đề 2. Không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1.
Chứng minh:
Giả sử tồn tại số thực $c$ sao cho:
$$0,(9)< c< 1.$$ Xét dãy số $(u_n)$ $$u_1=0,9\\ u_2=0,99\\ u_3=0,999\\ ... \\ u_n=0,99...9$$
(Gồm $n$ chữ số 9 sau dấu phẩy).
Ta có thể viết lại:
$$u_n=0,9+0,09+0,009+...+0,0...09=\sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k}.$$Rõ ràng $$u_n< c, \forall n \in \mathbb{N^*}.$$
Suy ra $$\lim_{n \to \infty} u_n \leq c.$$
Mà $$\lim_{n \to \infty} u_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^n}=\frac{9}{10}.\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=1.$$
Vậy $1 \leq c.$ Điều này trái với giả thiết ban đầu $c< 1.$ Do đó không tồn tại số thực nằm giữa 0,(9) và 1. Mệnh đề 2 được chứng minh.
Từ mệnh đề 1 và 2 ta có thêm một cách chứng minh khác cho khẳng định: 0,(9)=1.
Người đăng: Sơn Phan.
Xem thêm: Cách chứng minh 0,999...=1.