Bài toán " Chứng minh sin10° là một số vô tỉ " xuất hiện trong top những câu hỏi để loại trừ học sinh Do Thái vào các trường đại h...
Bài toán "Chứng minh sin10° là một số vô tỉ" xuất hiện trong top những câu hỏi để loại trừ học sinh Do Thái vào các trường đại học ở Liên Xô trước đây.
Nó là một "bài toán Do Thái" nổi tiếng và được giáo sư Tanya Khovanova (Massachusetts Institute) tuyển chọn trong tập "21 Jewish Problems".
Dưới đây là lời giải của bài toán này.
Bài toán. Chứng minh $\sin 10^o \ \ \ \ \ $ là số vô tỉ.
Lời giải.
Áp dụng công thức nhân ba lượng giác, ta có:
$$\frac{1}{2}=\sin 30^o=3\sin 10^o - 4\sin^3 10^o$$
Suy ra $$8 \sin^3 10^o - 6\sin 10^o+1=0.$$
Đặt $x=2\sin 10^o ,\ \ \ \ \ $ ta được: $$x^3-3x+1=0.$$
Nghiệm hữu tỉ của phương trình này (nếu có) phải là số nguyên và là ước của hệ số tự do ($1$). Tuy nhiên vì $\pm 1$ không là nghiệm của phương trình nên $x$ phải là số vô tỉ.
Từ đó suy ra $\sin 10^o \ \ \ \ \ $ cũng là số vô tỉ.
Nó là một "bài toán Do Thái" nổi tiếng và được giáo sư Tanya Khovanova (Massachusetts Institute) tuyển chọn trong tập "21 Jewish Problems".
Bài toán. Chứng minh $\sin 10^o \ \ \ \ \ $ là số vô tỉ.
Lời giải.
Áp dụng công thức nhân ba lượng giác, ta có:
$$\frac{1}{2}=\sin 30^o=3\sin 10^o - 4\sin^3 10^o$$
Suy ra $$8 \sin^3 10^o - 6\sin 10^o+1=0.$$
Đặt $x=2\sin 10^o ,\ \ \ \ \ $ ta được: $$x^3-3x+1=0.$$
Nghiệm hữu tỉ của phương trình này (nếu có) phải là số nguyên và là ước của hệ số tự do ($1$). Tuy nhiên vì $\pm 1$ không là nghiệm của phương trình nên $x$ phải là số vô tỉ.
Từ đó suy ra $\sin 10^o \ \ \ \ \ $ cũng là số vô tỉ.
Theo Bài toán Do Thái. Người đăng: MiR Math.
