Diện tích hữu hạn nhưng chu vi vô hạn

Trong bài viết này ta sẽ đề cập đến một hình có diện tích hữu hạn nhưng chu vi của nó lại vô hạn. Một điều trông rất 'nghịch lí'. ...

Trong bài viết này ta sẽ đề cập đến một hình có diện tích hữu hạn nhưng chu vi của nó lại vô hạn. Một điều trông rất 'nghịch lí'.

1. Bông tuyết Vôn Kốc (von Koch)

Bông tuyết Vôn Kốc (được đặt theo tên nhà toán học Thụy Điển, Niels Fabian Helge von Koch, 25 tháng 1 năm 1870 – 11 tháng 3 năm 1924) được xây dựng bằng phương pháp lặp như sau: Cho một tam giác đều. Ở bước một, chia mỗi cạnh của tam giác thành ba đoạn bằng nhau, dựng tam giác đều trên đoạn ở giữa (ở bên ngoài tam giác đã cho) rồi xóa cạnh đáy của tam giác đều này thì được một đường gấp khúc kín. Ở mỗi bước tiếp theo, chia mỗi đoạn của đường gấp khúc kín thành ba đoạn con bằng nhau, dựng tam giác đều trên đoạn con ở giữa (ở bên ngoài đường gấp khúc kín đó) rồi xóa cạnh đáy. Cứ làm thế mãi thì được “bông tuyết Vôn Kốc”.

Hình ảnh dưới minh hoạ tới bước thứ ba. Bông tuyết von Koch là hình thu được khi quá trình tiến ra vô hạn.

2. Diện tích, chu vi của bông tuyết von Koch

Gọi cạnh của tam giác đều ban đầu là $a$. Gọi hình thu được ở bước thứ $n$ là $H_n \ \ .$

Gọi
$$S_n, \ \ \ p_n$$ lần lượt là diện tích và chu vi của hình $H_n \ \ .$
Khi đó
$$\lim_{n \to \infty} S_n, \ \ \ \lim_{n \to \infty} p_n$$
tương ứng được gọi là diện tích và chu vi của bông tuyết von Koch.

3. Chu vi vô hạn...

Ta sẽ tính chu vi của bông tuyết von Koch.

Vậy chu vi của bông tuyết von Koch là "vô hạn".

4. ... nhưng diện tích lại hữu hạn

Diện tích bông tuyết Vôn Kốc được tính như sau:

Vậy diện tích của bông tuyết von Koch là hữu hạn (nó chỉ gấp 1,6 lần diện tích tam giác đều ban đầu).

Người đăng: Sơn Phan.