Từ một bài toán số phức trên facebook Diễn đàn Toán học VN: Ta giải bài toán rộng hơn là tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin z=2$....
Từ một bài toán số phức trên facebook Diễn đàn Toán học VN:
Ta giải bài toán rộng hơn là tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin z=2$. Tất nhiên, ở đây ta đang đề cập đến nghiệm phức, bởi phương trình $\sin z=2$ không có nghiệm thực.
Trong tập số phức, từ công thức Euler, ta có:
$e^{iz}=\cos z +i\sin z,$
$e^{-iz}=\cos z -i\sin z.$
Từ đó suy ra
$\sin z= \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$
Do vậy, phương trình $\sin z=2$ tương đương với
$e^{iz} - e^{-iz} = 4i \Leftrightarrow e^{2iz} - 4i.e^{iz}-1 = 0.$
Giải phương trình bậc hai này ta được
$e^{iz}=i(2 \pm \sqrt 3 ).$
Đặt $z=x+iy, \ \ x,y\in \mathbb{R}$ thì từ phương trình trên ta có:
$(1): \ \ e^{-y}\cos x = 0\Leftrightarrow \cos x=0 \\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+n2\pi \vee x=-\frac{\pi}{2}+m2\pi.$
$(2): \ \ e^{-y}\sin x = 2 \pm \sqrt 3 \Rightarrow e^{-y}=2 \pm \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow y=-\ln(2 \pm \sqrt 3)=\pm \ln( 2 + \sqrt 3 ).$
(Ứng với $x=\frac{\pi}{2}+n2\pi \ \ \ $, còn $x=-\frac{\pi}{2}+m2\pi \ \ \ $ thì $\sin x =-1$ không thỏa $(2)$)
Vậy tất cả các nghiệm phức của phương trình đầu bài là: $z = \frac{\pi}{2} \pm i \ln( 2 + \sqrt 3 ) +2n\pi, n \in \mathbb{Z}.$
Trong tập số phức, từ công thức Euler, ta có:
$e^{iz}=\cos z +i\sin z,$
$e^{-iz}=\cos z -i\sin z.$
Từ đó suy ra
$\sin z= \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$
Do vậy, phương trình $\sin z=2$ tương đương với
$e^{iz} - e^{-iz} = 4i \Leftrightarrow e^{2iz} - 4i.e^{iz}-1 = 0.$
Giải phương trình bậc hai này ta được
$e^{iz}=i(2 \pm \sqrt 3 ).$
Đặt $z=x+iy, \ \ x,y\in \mathbb{R}$ thì từ phương trình trên ta có:
$(1): \ \ e^{-y}\cos x = 0\Leftrightarrow \cos x=0 \\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+n2\pi \vee x=-\frac{\pi}{2}+m2\pi.$
$(2): \ \ e^{-y}\sin x = 2 \pm \sqrt 3 \Rightarrow e^{-y}=2 \pm \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow y=-\ln(2 \pm \sqrt 3)=\pm \ln( 2 + \sqrt 3 ).$
(Ứng với $x=\frac{\pi}{2}+n2\pi \ \ \ $, còn $x=-\frac{\pi}{2}+m2\pi \ \ \ $ thì $\sin x =-1$ không thỏa $(2)$)
Vậy tất cả các nghiệm phức của phương trình đầu bài là: $z = \frac{\pi}{2} \pm i \ln( 2 + \sqrt 3 ) +2n\pi, n \in \mathbb{Z}.$
Theo MathVn FB. Người đăng: MiR Math.