Một bài toán khá quen thuộc: Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ ta có: $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+...+n)^2$ Có thể ...
Một bài toán khá quen thuộc: Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ ta có:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+...+n)^2$
Cách 3. Hồng Ngọc
Cách 5. Đoàn Văn Bộ
Ở cách 5, tác giả Đoàn Văn Bộ đã giải quyết bài toán tổng quát hơn. Lời giải này đã đồng thời chứng minh 3 đẳng thức:
Có thể diễn giải bằng lời đẳng thức trên như sau: Tổng các lập phương của $n$ số nguyên dương đầu tiên bằng bình phương của tổng $n$ số đó.
Như vậy tổng các lập phương của $n$ số tự nhiên (khác 0) đầu tiên luôn là một số chính phương.
Cách chứng minh phổ biến nhất cho đẳng thức trên là dùng phương pháp quy nạp toán học. Bài này sẽ nêu một số cách chứng minh khác.
Một số cách chứng minh
Cách 1. Dùng phương pháp quy nạp toán học (dành cho bạn đọc)
Cách 2. Nguyễn Thế Bình
Cách 3. Hồng Ngọc
Diện tích tam giác bằng tổng diện tích của các hình vuông nhỏ (kích thước từ $1$ tới $n$).
 |
| Cách hình học. Ảnh: Hồng Ngọc. Nguồn: Mathtasy |
Cách 4. Phương Trúc
1) Tổng của $n$ số nguyên dương đầu tiên:
$$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
2) Tổng bình phương của $n$ số nguyên dương đầu tiên:
$$1^2+2^2+...+n^2 \ = \ \ \ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \ \ \ $$
3) Chính là đẳng thức ở đầu bài.
Với cách làm tương tự ta có thể tính được tới bậc $k$ tùy ý, tức tính được $S_k(n).$
Theo FB MathVn . Người đăng: MiR Math.
