Tam giác có tổng ba chiều cao rất nhỏ nhưng diện tích cực lớn

Bài này sẽ giới thiệu một bài toán hình học khá thú vị của thầy giáo Trần Phương. Bài toán đã được đăng trên tờ báo The Guardian (Anh Quốc) ...

Bài này sẽ giới thiệu một bài toán hình học khá thú vị của thầy giáo Trần Phương. Bài toán đã được đăng trên tờ báo The Guardian (Anh Quốc) vào ngày 7/9/2020. Nội dung như sau:

Đề bài toán: Có hay không một tam giác có tổng ba chiều cao nhỏ hơn 1 mm, nhưng diện tích tam giác đó lại lớn hơn diện tích bề mặt Trái Đất (510.100.000 km²)?

Lời giải.

Lời giải sau đây dựa trên ý tưởng của bạn Trương Ngọc Quý - thành viên Diễn đàn toán học Việt Nam.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có cạnh đáy $BC=a$, chiều cao hạ từ $A$ là $h$, các chiều cao hạ từ $B,C$ là $h'$

Tam giác $CH'B \ \ \ \ \ \ $ đồng dạng với tam giác $CHA$ nên:

$\dfrac{h'}{h}=\dfrac{CH'}{CH}<\dfrac{CB}{CH}=2 \Rightarrow h'< 2h.$

Tổng ba chiều cao là

$h+h'+h' < h+2h+2h=5h.$

Chọn $h=0,2$mm thì tổng ba chiều cao sẽ nhỏ hơn $1$mm như yêu cầu bài toán.
Và chọn $a=5.200.000.000.000.000$ km thì diện tích tam giác $ABC$ là:

$S=\frac{1}{2}h.a=\frac{1}{2} \times 0,0000002 \times 5.200.000.000.000.000 =520.000.000 \ \text{km}^2$

lớn hơn diện tích bề mặt trái đất.

(Lưu ý rằng $h=0,2$mm $= 0,0000002$ km.)

Như vậy, câu trả lời cho bài toán trên là có (rất nhiều) tam giác như vậy.

Kết quả mở rộng. Ta luôn chỉ ra được một tam giác có tổng 3 chiều cao bé tùy ý mà diện tích tam giác đó luôn lớn hơn một số (rất lớn) cho trước.

Theo MathVn FB. Người đăng: MiR Math.

Xem thêm: Lời giải của chính tác giả Trần Phương.