Bạn đọc Anh Vũ của diễn đàn toán học VN có hỏi một bài toán thú vị sau: Bài toán chia tài sản Một tỷ phú có 5 người con trai, 5 người con g...
Bạn đọc Anh Vũ của diễn đàn toán học VN có hỏi một bài toán thú vị sau:
Bài toán chia tài sản
Một tỷ phú có 5 người con trai, 5 người con gái và 1 quản gia. Ông để lại tài sản (gồm nhiều miếng vàng bằng nhau) cho các con và quản gia với di chúc như sau: Chia 1/5 số miếng vàng cho con trai cả, sau đó quản gia lấy 1 miếng vàng. Rồi chia 1/5 số còn lại cho người con trai thứ 2 và người quản gia lại lấy 1 miếng vàng. Tiếp tục như vậy cho đến người con trai thứ 5.
Số vàng còn lại chia đều cho 5 người con gái. Số miếng vàng chia vừa đủ không dư. Hỏi người tỷ phú có ít nhất bao nhiêu miếng vàng?
Lời giải 1 (Nguyễn Hữu Hiếu)
Gọi $x$ là số miếng vàng của ông tỉ phú ($x$ nguyên dương).
Số miếng vàng còn lại sau khi người con trai 1 và quản gia lấy đi là $\dfrac{4x}{5}-1.$
Số miếng vàng còn lại sau khi người con trai 2 và quản gia lấy lần 2 là
$ \dfrac{4}{5}(\dfrac{4x}{5}-1)-1=(\dfrac{4}{5})^2.x-\dfrac{4}{5}-1$
Sau khi chia hết cho 5 người con trai và quản gia, số miếng vàng còn lại là:
$(\dfrac{4}{5})^5.x-(\dfrac{4}{5})^4-(\dfrac{4}{5})^3-(\dfrac{4}{5})^2-\dfrac{4}{5}-1$
$=\dfrac{1024x}{3125}-\dfrac{2101}{625}$
$=(1024x-10505)/3125$
Số vàng mỗi người con gái nhận được là $k=(1024x-10505)/15625.$
Suy ra $x= (15625k+10505)/1024$
hay $x= 15k+10+\dfrac{265(k+1)}{1024}.$
Vì $x$ nhỏ nhất và nguyên dương nên $265(k+1)$ là bội dương nhỏ nhất của $1024$ suy ra $k+1=1024$ (do $(265,1024)=1$).
Suy ra $k=1023.$
Vậy $x= 15620.$
Gọi $X$ là số miếng vàng (nhỏ nhất) của ông tỉ phú ($X$ nguyên dương).
Xét biểu thức $f(x)=\frac{4x}{5}-1.$
Trường hợp $f(x)$ nguyên, ta có nhận xét sau:
+ $f(x) \equiv 0 (\mod 5) \Rightarrow x\equiv-5 (\mod 5^2)$
+ $f(x)\equiv -5 (\mod 5^k) \Rightarrow x\equiv-5 (\mod 5^{k+1})$
Dựa vào đề bài thì $f^5(x)\ \ \ \ $ là số nguyên và $f^5(x)\equiv 0 (\mod 5) \\ \Rightarrow f^4(x)\equiv -5 (\mod 5^2) \\ \Rightarrow f^3(x)\equiv-5 (\mod 5^3) \\ \Rightarrow ... \\ \Rightarrow x=f^0(x)\equiv -5 (\mod 5^6)$
Ta thấy $X=5^6-5=15620 \ \ \ \ $ thỏa mãn đề bài.
Số miếng vàng còn lại sau khi người con trai 1 và quản gia lấy đi là $\dfrac{4x}{5}-1.$
Số miếng vàng còn lại sau khi người con trai 2 và quản gia lấy lần 2 là
$ \dfrac{4}{5}(\dfrac{4x}{5}-1)-1=(\dfrac{4}{5})^2.x-\dfrac{4}{5}-1$
Sau khi chia hết cho 5 người con trai và quản gia, số miếng vàng còn lại là:
$(\dfrac{4}{5})^5.x-(\dfrac{4}{5})^4-(\dfrac{4}{5})^3-(\dfrac{4}{5})^2-\dfrac{4}{5}-1$
$=\dfrac{1024x}{3125}-\dfrac{2101}{625}$
$=(1024x-10505)/3125$
Số vàng mỗi người con gái nhận được là $k=(1024x-10505)/15625.$
Suy ra $x= (15625k+10505)/1024$
hay $x= 15k+10+\dfrac{265(k+1)}{1024}.$
Vì $x$ nhỏ nhất và nguyên dương nên $265(k+1)$ là bội dương nhỏ nhất của $1024$ suy ra $k+1=1024$ (do $(265,1024)=1$).
Suy ra $k=1023.$
Vậy $x= 15620.$
Lời giải 2 (Duy Hunter)
Xét biểu thức $f(x)=\frac{4x}{5}-1.$
Trường hợp $f(x)$ nguyên, ta có nhận xét sau:
+ $f(x) \equiv 0 (\mod 5) \Rightarrow x\equiv-5 (\mod 5^2)$
+ $f(x)\equiv -5 (\mod 5^k) \Rightarrow x\equiv-5 (\mod 5^{k+1})$
Dựa vào đề bài thì $f^5(x)\ \ \ \ $ là số nguyên và $f^5(x)\equiv 0 (\mod 5) \\ \Rightarrow f^4(x)\equiv -5 (\mod 5^2) \\ \Rightarrow f^3(x)\equiv-5 (\mod 5^3) \\ \Rightarrow ... \\ \Rightarrow x=f^0(x)\equiv -5 (\mod 5^6)$
Ta thấy $X=5^6-5=15620 \ \ \ \ $ thỏa mãn đề bài.
Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.
