Chứng minh công thức sin¹⁰x + cos¹⁰x=(63+60cos 4x+5cos 8x)/128

Bài này sẽ giới thiệu một bài tập áp dụng công thức hạ bậc trong lượng giác để biến đổi, chứng minh một đẳng thức liên quan đến sin 10 x, co...

Bài này sẽ giới thiệu một bài tập áp dụng công thức hạ bậc trong lượng giác để biến đổi, chứng minh một đẳng thức liên quan đến sin¹⁰x, cos¹⁰x.

Bài toán. Chứng minh công thức lượng giác sau

Lời giải.
Dùng công thức hạ bậc và khai triển nhị thức Newton, ta có:
$\sin^{10}x=(\sin^2 x)^5=(\dfrac{1-\cos 2x}{2})^5\\ =\dfrac{1}{32}(1-5\cos 2x+10\cos^2 2x-10\cos^3 2x+5\cos^4 2x-\cos^5 2x)$
và
$\cos^{10}x=(\cos^2 x)^5=(\dfrac{1+\cos 2x}{2})^5\\ =\dfrac{1}{32}(1+5\cos 2x+10\cos^2 2x+10\cos^3 2x+5\cos^4 2x+\cos^5 2x)$
Suy ra
$\sin^{10}x+\cos^{10}x=\dfrac{1}{32}(2+20\cos^2 2x+10\cos^4 2x)$
$=\dfrac{1}{32}(2+20\dfrac{1+\cos 4x}{2}+10\dfrac{(1+\cos 4x)^2}{4})\\ =\dfrac{1}{32}(2+10+\dfrac{10}{4}+15\cos 4x+\dfrac{10}{4}.\dfrac{1+\cos 8x}{2})\\ =\dfrac{63+60\cos 4x+5\cos 8x}{128} $
Vậy công thức được chứng minh.

Kiến thức dùng trong bài:
- Công thức hạ bậc: mathvn.com/2013/11/xem-bang-cong-thuc-luong-giac-ay-u.html
- Công thức khai triển nhị thức Newton: mathvn.com/2021/06/cong-thuc-khai-trien-xyn-nhi-thuc-newton.html

Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.