Chứng minh định lí đẳng chu: Trong các hình phẳng có cùng chu vi thì hình tròn có diện tích lớn nhất

Bài viết này sẽ trích đăng một phần bài báo "CÂU CHUYỆN VỀ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG" của tác giả Trịnh Đào Chiến , t...

Bài viết này sẽ trích đăng một phần bài báo "CÂU CHUYỆN VỀ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG" của tác giả Trịnh Đào Chiến, trên Tạp chí Epsilon số 20.

Giới thiệu bài toán đẳng chu

“Đẳng” là bằng nhau, là không thay đổi. “Chu” là vòng khắp, là vòng quanh, là một vòng xung quanh. Bài toán Đẳng chu là một trong các bài toán cơ bản của phép tính biến phân, có nội dung như sau: “Trong tất cả các đường cong có độ dài đã cho, tìm đường làm cho một đại lượng nào đó, là phiếm hàm của các đường, lấy giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất”. Trong Hình học phẳng, bài toán Đẳng chu được phát biểu như sau: “Trong tất cả các hình phẳng có chu vi bằng nhau, tìm hình có diện tích lớn nhất”.

Bài toán Đẳng chu (trong Hình học phẳng) là một trong những bài toán nổi tiếng, được biết đến từ Thế kỷ IV trước Công nguyên. Trong suốt hơn 2000 năm tồn tại, nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều người, nhiều nhà khoa học.

Bài toán bắt đầu từ một truyền thuyết: Dido là công chúa xứ Tyre (ngày nay là Liban), một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido, nhưng đã giết chồng của Dido để chiếm tài sản.

Dido cùng với một đoàn người chạy tị nạn khỏi xứ Tyre, đến vùng Carthage và lập nên một thành phố mới ở đó. Khi đến tị nạn ở Carthage, Dido xin vua xứ đó một mảnh đất nhỏ để ở tạm. Nhà vua đồng ý cho Dido một mảnh đất có thể khoanh vùng lại được bằng một tấm da trâu do nhà vua ban tặng. Dido cùng với những người thân của mình trong đoàn tị nạn cắt tấm da trâu ấy ra thành một dải dây da trâu rất dài.

Sau khi đã có dải dây da trâu, bài toán đặt ra cho Dido là: Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở cạnh biển? Nếu ta giả sử bờ biển là một đường thẳng và ta có một cái gương lớn đặt ở bờ biển, khi đó mảnh đất của ta được nhân đôi (cộng với phần đối xứng của nó ở trong gương) và nó được bao quanh bởi hai lần sợi dây da trâu ấy. Điều này dẫn đến Bài toán Đẳng chu trong Hình học phẳng như đã nêu trên.

Hai cách chứng minh định lí đẳng chu

Như ta đã biết, Định lí đẳng chu được chứng minh sau một quá trình suy luận khá dài và phức tạp. Tuy nhiên, định lí này cũng có thể được chứng minh từ bổ đề sau đây. Bổ đề này có nhiều cách chứng minh, trong đó cách chứng minh sau đây rất độc đáo vì chỉ dùng những kiến thức hết sức sơ cấp.