Trên group Trao đổi Toán, một câu phương trình lượng giác gồm nhiều chữ sin lồng nhau gây khó cho nhiều thành viên. Bài toán. Giải phương ...
Trên group Trao đổi Toán, một câu phương trình lượng giác gồm nhiều chữ sin lồng nhau gây khó cho nhiều thành viên.
Xét hàm số $$f(t)=\dfrac{\sin t}{t}, t \in D=[-1;0)\cup (0;1]. $$ Dùng đạo hàm, ta chứng minh được $f$ đồng biến trên $[-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1]$.
Ta có $f(-1)=f(1)=\sin 1$. Vì vậy $$f(t)\ge \sin 1, \forall t \in D.$$ Từ đây suy ra
$\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}=f(\sin x)\ge \sin 1, \forall x \ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Mặt khác ta có hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ và $\sin (\frac{x}{\sin x}) \in [-1;1] \subset [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ nên $$\sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right) \le \sin 1, \forall x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Từ hai điều trên ta có: $$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\ge \sin 1 \ge \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right),$$ với mọi $x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Vì vậy phương trình đã cho tương đương với $$\begin{cases} \dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}&= \sin 1\\ \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right)&= \sin 1 \end{cases}$$ Từ hệ này ta tìm được
$$\sin x=\pm 1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Các nghiệm này thỏa điều kiện của phương trình.
Bài toán.
Giải phương trình lượng giác sau
Lời giải. (Hồ Xuân Đức)
Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x\ne k\pi, k \in \mathbb{Z}$.Xét hàm số $$f(t)=\dfrac{\sin t}{t}, t \in D=[-1;0)\cup (0;1]. $$ Dùng đạo hàm, ta chứng minh được $f$ đồng biến trên $[-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1]$.
Ta có $f(-1)=f(1)=\sin 1$. Vì vậy $$f(t)\ge \sin 1, \forall t \in D.$$ Từ đây suy ra
$\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}=f(\sin x)\ge \sin 1, \forall x \ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Mặt khác ta có hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ và $\sin (\frac{x}{\sin x}) \in [-1;1] \subset [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ nên $$\sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right) \le \sin 1, \forall x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Từ hai điều trên ta có: $$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\ge \sin 1 \ge \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right),$$ với mọi $x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}.$
Vì vậy phương trình đã cho tương đương với $$\begin{cases} \dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}&= \sin 1\\ \sin\left(\sin \left(\frac{x}{\sin x}\right)\right)&= \sin 1 \end{cases}$$ Từ hệ này ta tìm được
$$\sin x=\pm 1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}.$$ Các nghiệm này thỏa điều kiện của phương trình.
Minh hoạ đồ thị
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.
