Trên group Trao đổi Toán và fanpage Diễn đàn Toán học VN có bài phương trình mũ được thảo luận sôi nổi sau đây. Đề bài Giải phương trình ...
Trên group Trao đổi Toán và fanpage Diễn đàn Toán học VN có bài phương trình mũ được thảo luận sôi nổi sau đây.
Hàm $f$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$, với $$f'(t)=\alpha(t+1)^{\alpha-1}-\alpha t^{\alpha-1}.$$ Từ $(*)$ ta có $f(7)=f(3)$, do đó theo định lí Lagrange (thực ra chỉ cần dùng định lí Rolle), tồn tại $c\in (3;7)$ sao cho $$0=f'(c)=\alpha(c+1)^{\alpha-1}-\alpha c^{\alpha-1}.$$ Suy ra $\alpha[(c+1)^{\alpha-1}-c^{\alpha-1}]=0 \Rightarrow \alpha =0 \vee \alpha =1$.
Thử lại ta thấy $0$ và $1$ nghiệm đúng phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S=\{0;1\}$.
Ta cần tìm tham số $x$ sao cho $f(7)=f(3)$.
Ta có $$f'(t) = x[(t+1)^{x-1}-t^{x-1}], \forall t>0.$$ + Nếu $x=0$ hoặc $x=1$ thì $f'(t)=0,\forall t>0$ hay $f(t)$ là hàm hằng trên $(0,+\infty)$. Do đó $x=0$ và $x=1$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
+ Nếu $x>1$ thì $(t+1)^{x-1}>t^{x-1},\forall t>0$ nên $f'(t)>0, \forall t>0$, tức $f$ đồng biến trên $(0,+\infty)$. Do đó $f(7)>f(3)$.
+ Lập luận tương tự cho trường hợp $x<0$, ta có $f(7)>f(3)$; còn với trường hợp $x\in(0;1)$ thì $f(7)< f(3)$.
Tóm lại, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm $0$ và $1$.
Đề bài
Giải phương trình $$8^x+3^x=7^x+4^x.$$Cách giải 1
Giả sử $\alpha$ là một nghiệm (thực) của phương trình, tức là ta có $$8^\alpha+3^\alpha=7^\alpha+4^\alpha\Leftrightarrow 8^\alpha-7^\alpha=4^\alpha-3^\alpha \ \ (*)$$ Xét hàm số $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ xác định bởi $f(t)=(t+1)^\alpha-t^\alpha$.Hàm $f$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$, với $$f'(t)=\alpha(t+1)^{\alpha-1}-\alpha t^{\alpha-1}.$$ Từ $(*)$ ta có $f(7)=f(3)$, do đó theo định lí Lagrange (thực ra chỉ cần dùng định lí Rolle), tồn tại $c\in (3;7)$ sao cho $$0=f'(c)=\alpha(c+1)^{\alpha-1}-\alpha c^{\alpha-1}.$$ Suy ra $\alpha[(c+1)^{\alpha-1}-c^{\alpha-1}]=0 \Rightarrow \alpha =0 \vee \alpha =1$.
Thử lại ta thấy $0$ và $1$ nghiệm đúng phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S=\{0;1\}$.
Cách giải 2
Xét hàm số $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ xác định bởi $f(t) = (t+1)^x - t^x$, với $x$ là tham số.Ta cần tìm tham số $x$ sao cho $f(7)=f(3)$.
Ta có $$f'(t) = x[(t+1)^{x-1}-t^{x-1}], \forall t>0.$$ + Nếu $x=0$ hoặc $x=1$ thì $f'(t)=0,\forall t>0$ hay $f(t)$ là hàm hằng trên $(0,+\infty)$. Do đó $x=0$ và $x=1$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
+ Nếu $x>1$ thì $(t+1)^{x-1}>t^{x-1},\forall t>0$ nên $f'(t)>0, \forall t>0$, tức $f$ đồng biến trên $(0,+\infty)$. Do đó $f(7)>f(3)$.
+ Lập luận tương tự cho trường hợp $x<0$, ta có $f(7)>f(3)$; còn với trường hợp $x\in(0;1)$ thì $f(7)< f(3)$.
Tóm lại, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm $0$ và $1$.
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.