Giải bài tập 5.23 của Bài 6: Công thức tính góc trong không gian - chương V SGK Toán 12 Tập 2 KNTT. Bài 5.23 . Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho ...
Giải bài tập 5.23 của Bài 6: Công thức tính góc trong không gian - chương V SGK Toán 12 Tập 2 KNTT.
Bài 5.23. Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, điểm $A$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy$, điểm $S$ thuộc tia $Oz$.
Ta có $OA$ $=OB$ $=OC$ $=115\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }OS$ $=7\sqrt{439}$
$\Rightarrow A\left( 115\sqrt{2};0;0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }B\left( 0;115\sqrt{2};0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }C\left( -115\sqrt{2};0;0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }S\left( 0;0;7\sqrt{439} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{SA}$ $=\left( 115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{SB}$ $=\left( 0;115\sqrt{2};-7\sqrt{439} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{SC}$ $=\left( -115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439} \right).$
Từ các vectơ trên ta tính được:
- Một vectơ pháp tuyến của $(SAB)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ $=115\sqrt{2}\left( 7\sqrt{439};7\sqrt{439};115\sqrt{2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
- Một vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}$ $=-115\sqrt{2}\left( 7\sqrt{439};-7\sqrt{439};-115\sqrt{2} \right).$
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, ta có:
$\cos \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)$ $=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|$ $=\dfrac{26450}{69472}\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)\approx 67,6{}^\circ .$
Đáp số: $\boxed{67,6{}^\circ} .$
Bài 5.23. Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, điểm $A$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy$, điểm $S$ thuộc tia $Oz$.
Ta có $OA$ $=OB$ $=OC$ $=115\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }OS$ $=7\sqrt{439}$
$\Rightarrow A\left( 115\sqrt{2};0;0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }B\left( 0;115\sqrt{2};0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }C\left( -115\sqrt{2};0;0 \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }S\left( 0;0;7\sqrt{439} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{SA}$ $=\left( 115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{SB}$ $=\left( 0;115\sqrt{2};-7\sqrt{439} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{SC}$ $=\left( -115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439} \right).$
Từ các vectơ trên ta tính được:
- Một vectơ pháp tuyến của $(SAB)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ $=115\sqrt{2}\left( 7\sqrt{439};7\sqrt{439};115\sqrt{2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
- Một vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}$ $=-115\sqrt{2}\left( 7\sqrt{439};-7\sqrt{439};-115\sqrt{2} \right).$
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, ta có:
$\cos \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)$ $=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|$ $=\dfrac{26450}{69472}\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)\approx 67,6{}^\circ .$
Đáp số: $\boxed{67,6{}^\circ} .$
