Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài này sẽ nêu công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ và một số ví dụ minh họa. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳn...

Bài này sẽ nêu công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ và một số ví dụ minh họa.

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt thẳng $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}=(A;B;C)$ và $\vec{n'}=(A';B';C')$.

Khi đó, cô-sin (cos) của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được tính theo công thức:
$\cos((P),(Q))=|\cos(\vec{n},\vec{n'})|$ $=\dfrac{|\vec{n}.\vec{n'}|}{|\vec{n}|.|\vec{n'}|}$ $= \dfrac{|A A'+BB'+CC'|}{{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}}.$

Ví dụ có lời giải

Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x+2y+2z-1=0$ và $(Q): x+y-z+1=0$.
Lời giải.
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 1;2;2 \right)$.
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n'}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta có
$\cos((P),(Q))=|\cos(\vec{n},\vec{n'})|$ $=\dfrac{|\vec{n}.\vec{n'}|}{|\vec{n}|.|\vec{n'}|}$ $= \dfrac{|1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot (-1)|}{{\sqrt{1^2+2^2+2^2}.\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{9}.$
Suy ra số đo góc giữa hai mặt phẳng đã cho là $\left( (P) ,(Q) \right)=\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{9}\approx 78,9{}^\circ .$
Đáp số: $\boxed{78,9{}^\circ} .$