Nguyên hàm của hàm số mũ $f(x)=a^x$, $f(x)=e^x$, $f(x)=2^x$,...

Bài viết này sẽ giới thiệu các công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ $f(x)=a^x$, $f(x)=e^x$, $f(x)=2^x$, $f(x)=3^x$, $f(x)=5^x$,... Nguyên...

Bài viết này sẽ giới thiệu các công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ $f(x)=a^x$, $f(x)=e^x$, $f(x)=2^x$, $f(x)=3^x$, $f(x)=5^x$,...

Nguyên hàm của $a^x$

Với $0 < a \neq 1$ ta có: $$\int a^x~\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+ C.$$

Ví dụ 1a

• $\displaystyle\int 2^x~\text{d}x=\dfrac{2^x}{\ln 2}+ C.$
• $\displaystyle\int 3^x~\text{d}x=\dfrac{3^x}{\ln 3}+ C.$
• $\displaystyle\int 5^x~\text{d}x=\dfrac{5^x}{\ln 5}+ C.$

Nguyên hàm của $a^{mx+n}$

Với $m\ne 0$, ta có $$\int a^{mx+n}~\text{d}x=\frac{a^{mx+n}}{m\ln a}+ C.$$

Ví dụ 1b

$\displaystyle\int 7^{8x+9}~\text{d}x=\dfrac{7^{8x+9}}{8\ln 7}+ C.$

Nguyên hàm của $e^x$

Đặc biệt, khi $a=e$ thì $\ln e=1$ nên ta có: $$\int e^x~\text{d}x=e^x+ C.$$

Nguyên hàm của $e^{mx+n}$

Với $m\ne 0$, ta có $$\int e^{mx+n}~\text{d}x=\frac{e^{mx+n}}{m}+ C.$$

Ví dụ 2c

$\displaystyle\int e^{2x}~\text{d}x=\dfrac{e^{2x}}{2}+ C.$

Ví dụ 2d

$\displaystyle\int e^{-5x+6}~\text{d}x=\dfrac{e^{-5x+6}}{-5}+ C.$