Đề bài Câu 1 phần II Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$. a) ${f(0) = 2}$; ${f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}}$. b) Đạo hàm của ...
Đề bài Câu 1 phần II
Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$.a) ${f(0) = 2}$; ${f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}}$.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f' (x) = 2\sin x + 1$.
c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn ${\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}$ là $\dfrac{\pi }{6}$.
d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ là $\sqrt{3}+\dfrac{\pi }{6}$.
Đề gốc:
Hướng dẫn giải
a) Đúng.
Ta có: $f(0)=2\cos 0+0=2$; $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}.$b) Sai.
Đạo hàm: $f'(x)=-2\sin x+1.$c) Đúng.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\sin x+1=0$ $ \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k.2\pi \vee x=\dfrac{5\pi}{6}+k.2\pi, ~ k \in \mathbb{Z}.$Trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ thì chỉ có một nghiệm duy nhất $x=\dfrac{\pi}{6}$ (ứng với $k=0$).
d) Đúng.
$f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos\dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{6}.$Kết hợp với các giá trị $f(0), f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ở câu a), ta suy ra:
$\displaystyle\max_{[0;\frac{\pi}{2}]}f(x)=\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{6}.$
