Đề thi IMO 2025 - Ngày 2 (16/7/2025). Thứ Tư, ngày 16 tháng 7 năm 2025 --- Bài 4. Một ước số thực sự của số nguyên dương $N$ là một ướ...
Đề thi IMO 2025 - Ngày 2 (16/7/2025).
Thứ Tư, ngày 16 tháng 7 năm 2025
---
Bài 4. Một ước số thực sự của số nguyên dương $N$ là một ước nguyên dương khác $N$ của $N$.
Cho $a_1, a_2, \ldots$ là một dãy vô hạn số nguyên dương sao cho mỗi số hạng có ít nhất ba ước số thực sự.
Biết rằng với mọi $n \geq 1$, số hạng $a_{n+1}$ bằng tổng của ba ước số thực sự lớn nhất của $a_n$.
Xác định tất cả các giá trị có thể của $a_1$.
Bài 5. Alice và Bazza chơi trò chơi Úc, một trò chơi hai người mà luật chơi phụ thuộc vào một số thực dương $\lambda$ mà cả hai người đều biết. Tại lượt thứ $n$ của trò chơi (bắt đầu với $n = 1$), điều sau đây diễn ra:
• Nếu $n$ là số lẻ, Alice chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq \lambda n.$
• Nếu $n$ là số chẵn, Bazza chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \leq n.$
Nếu một người không thể chọn được một số $x_n$ hợp lệ thì trò chơi kết thúc và người kia thắng cuộc.
Nếu trò chơi kéo dài vô hạn thì không người nào thắng cuộc. Cả hai người đều biết tất cả các số đã được chọn.
Xác định tất cả các giá trị của $\lambda$ sao cho Alice có chiến lược thắng cuộc và tất cả các giá trị của $\lambda$ sao cho Bazza có chiến lược thắng cuộc.
Bài 6. Cho một bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2025$. Matilda muốn dặt lên bảng một số viên gạch hình chữ nhật, kích thước có thể khác nhau, sao cho mỗi viên phủ kín một số ô vuông đơn vị của bảng và mỗi ô vuông đơn vị được phủ bởi không quá một viên.
Xác định số nhỏ nhất các viên gạch mà Matilda cần đặt sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột của bảng có đúng một ô vuông đơn vị không được phủ bởi các viên gạch.
Xem thêm: Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2025 - Ngày 1.
---
Bài 4. Một ước số thực sự của số nguyên dương $N$ là một ước nguyên dương khác $N$ của $N$.
Cho $a_1, a_2, \ldots$ là một dãy vô hạn số nguyên dương sao cho mỗi số hạng có ít nhất ba ước số thực sự.
Biết rằng với mọi $n \geq 1$, số hạng $a_{n+1}$ bằng tổng của ba ước số thực sự lớn nhất của $a_n$.
Xác định tất cả các giá trị có thể của $a_1$.
Bài 5. Alice và Bazza chơi trò chơi Úc, một trò chơi hai người mà luật chơi phụ thuộc vào một số thực dương $\lambda$ mà cả hai người đều biết. Tại lượt thứ $n$ của trò chơi (bắt đầu với $n = 1$), điều sau đây diễn ra:
• Nếu $n$ là số lẻ, Alice chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq \lambda n.$
• Nếu $n$ là số chẵn, Bazza chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \leq n.$
Nếu một người không thể chọn được một số $x_n$ hợp lệ thì trò chơi kết thúc và người kia thắng cuộc.
Nếu trò chơi kéo dài vô hạn thì không người nào thắng cuộc. Cả hai người đều biết tất cả các số đã được chọn.
Xác định tất cả các giá trị của $\lambda$ sao cho Alice có chiến lược thắng cuộc và tất cả các giá trị của $\lambda$ sao cho Bazza có chiến lược thắng cuộc.
Bài 6. Cho một bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2025$. Matilda muốn dặt lên bảng một số viên gạch hình chữ nhật, kích thước có thể khác nhau, sao cho mỗi viên phủ kín một số ô vuông đơn vị của bảng và mỗi ô vuông đơn vị được phủ bởi không quá một viên.
Xác định số nhỏ nhất các viên gạch mà Matilda cần đặt sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột của bảng có đúng một ô vuông đơn vị không được phủ bởi các viên gạch.
Xem thêm: Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2025 - Ngày 1.
