Đề thi IMO 2025 ngày thứ nhất (15/7/2025) Thứ Ba, ngày 15 tháng 7 năm 2025 --- Bài 1. Một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được g...
Đề thi IMO 2025 ngày thứ nhất (15/7/2025)
Thứ Ba, ngày 15 tháng 7 năm 2025
---
Bài 1. Một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được gọi là đường ánh nắng nếu nó không song song với trục $x$, trục $y$ hay đường thẳng $x + y = 0$.
Cho số nguyên dương $n \ge 3$ cố định. Xác định tất cả các số nguyên không âm $k$ sao cho tồn tại $n$ đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
• Với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ mà $a + b \le n + 1$, điểm $(a; b)$ nằm trên ít nhất một trong $n$ đường thẳng đó;
• Đúng $k$ trong số $n$ đường thẳng là đường ánh nắng.
Bài 2. Cho các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ có tâm tương ứng là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$. Giả sử các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại các điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại điểm $C$ và cắt $\Gamma$ tại điểm $D$, sao cho thứ tự các điểm trên đường thẳng đó lần lượt là $C, M, N$ và $D$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại điểm $E \ne A$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại điểm $F \ne A$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$.
(Trực tâm của một tam giác là giao điểm của các đường cao của nó.)
Bài 3. Ký hiệu $\mathbb{Z}_{> 0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Một hàm số $f : \mathbb{Z}_{> 0} \to \mathbb{Z}_{> 0}$ được gọi là tốt nếu $$ b^a - f(b)^{f(a)} \text{ chia hết cho } f(a) $$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$.
Xác định số thực $c$ nhỏ nhất sao cho $f(n) \le cn$ với mọi hàm số tốt $f$ và mọi số nguyên dương $n$.
Xem thêm: Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2025 - Ngày 2.
---
Bài 1. Một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được gọi là đường ánh nắng nếu nó không song song với trục $x$, trục $y$ hay đường thẳng $x + y = 0$.
Cho số nguyên dương $n \ge 3$ cố định. Xác định tất cả các số nguyên không âm $k$ sao cho tồn tại $n$ đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
• Với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ mà $a + b \le n + 1$, điểm $(a; b)$ nằm trên ít nhất một trong $n$ đường thẳng đó;
• Đúng $k$ trong số $n$ đường thẳng là đường ánh nắng.
Bài 2. Cho các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ có tâm tương ứng là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$. Giả sử các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại các điểm phân biệt $A$ và $B$. Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại điểm $C$ và cắt $\Gamma$ tại điểm $D$, sao cho thứ tự các điểm trên đường thẳng đó lần lượt là $C, M, N$ và $D$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại điểm $E \ne A$. Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại điểm $F \ne A$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$.
(Trực tâm của một tam giác là giao điểm của các đường cao của nó.)
Bài 3. Ký hiệu $\mathbb{Z}_{> 0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Một hàm số $f : \mathbb{Z}_{> 0} \to \mathbb{Z}_{> 0}$ được gọi là tốt nếu $$ b^a - f(b)^{f(a)} \text{ chia hết cho } f(a) $$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$.
Xác định số thực $c$ nhỏ nhất sao cho $f(n) \le cn$ với mọi hàm số tốt $f$ và mọi số nguyên dương $n$.
Xem thêm: Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2025 - Ngày 2.
