BÀI TOÁN ( Đề HSG Nghệ An 2025 ) Một công ty chuyển phát nhanh cần vận chuyển một lô hàng trên quãng đường dài $200$ km bằng một xe tải. X...
BÀI TOÁN (Đề HSG Nghệ An 2025)
Một công ty chuyển phát nhanh cần vận chuyển một lô hàng trên quãng đường dài $200$ km bằng một xe tải. Xe chạy với vận tốc không đổi là $v$ (km/h). Mức tiêu thụ dầu của xe tải được mô hình hoá bởi công thức: $C(v) = \dfrac{5}{v} + \dfrac{v}{512}$ (lít/km). Chi phí trả cho tài xế là $150$ nghìn đồng/giờ. Giá dầu là $20$ nghìn đồng/lít.Hỏi xe nên chạy với vận tốc bằng bao nhiêu để tổng chi phí cho chuyến đi (bao gồm tiền dầu và chi phí cho tài xế) là thấp nhất?
LỜI GIẢI VÀ KẾT LUẬN
Bước 1. Thời gian xe chạy hết quãng đường 200 km: $t = \dfrac{200}{v}$ (giờ).
Bước 2. Chi phí tiền công tài xế: $T_1 = 150 \times t = 150 \times \dfrac{200}{v} = \dfrac{30000}{v}$ (nghìn đồng).
Mức tiêu hao dầu trên toàn quãng đường: $200 \times C(v) = 200\left(\dfrac{5}{v} + \dfrac{v}{512}\right)$ $= \dfrac{1000}{v} + \dfrac{200v}{512}.$
Chi phí tiền dầu: $T_2 = 20 \times \left(\dfrac{1000}{v} + \dfrac{200v}{512}\right)$ $= \dfrac{20000}{v} + \dfrac{4000v}{512} = \dfrac{20000}{v} + 7{,}8125v.$
Bước 3. Tổng chi phí chuyến đi: $T(v) = T_1 + T_2 = \dfrac{30000}{v} + \dfrac{20000}{v} + 7{,}8125v $ $= \dfrac{50000}{v} + 7{,}8125v.$
Bước 4. Tối thiểu hóa $T(v)$ với $v > 0$: $T'(v) = -\dfrac{50000}{v^2} + 7{,}8125.$
Ta có: $T'(v) =0 \Leftrightarrow v^2 = \dfrac{50000}{7{,}8125} = 6400 $ $\Rightarrow v = 80.$
Kiểm tra: $T''(80) = \dfrac{100000}{80^3} > 0$ nên $v = 80$ cho tổng chi phí nhỏ nhất (trong trường hợp này, cực tiểu cũng là giá trị nhỏ nhất).
Kết luận: Xe nên chạy với vận tốc $v = 80\ \text{km/h}$ để tổng chi phí chuyến đi là thấp nhất.
