Đề bài (Đề HSG Nghệ An 2025) Một chất điểm chuyển động trên trục $ Ox $, chiều dương của chuyển động là chiều dương của trục $ Ox $ (đơn vị...
Đề bài (Đề HSG Nghệ An 2025)
Một chất điểm chuyển động trên trục $ Ox $, chiều dương của chuyển động là chiều dương của trục $ Ox $ (đơn vị trên trục là mét). Giả sử tại thời điểm $ t $ (giây), tọa độ của chất điểm trên trục $ Ox $ được tính theo công thức $ x(t) = 2t^3 - 12t^2 + 18t $ với $ t \ge 0 $.a) Tại thời điểm $ t $ giây, vận tốc của chất điểm được tính theo công thức $ v(t) = 6t^2 - 24t + 18 $ (m/s).
b) Vận tốc của chất điểm giảm trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba.
c) Sau $ 4 $ giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, chất điểm cách điểm xuất phát $ 8 $ m.
d) Quãng đường chất điểm chuyển động trong $ 2 $ giây đầu tiên là $ 12 $ m.
Lời giải và kết luận
Ta có: $ x(t)=2t^{3}-12t^{2}+18t,\quad t\ge 0. $a) Kiểm tra công thức vận tốc.
Vận tốc là đạo hàm của $x(t)$ theo $t$:
$ v(t)=x'(t)=\big(2t^{3}-12t^{2}+18t\big)'$ $=6t^{2}-24t+18. $
Vậy đúng: $v(t)=6t^{2}-24t+18\ (\text{m/s})$.
b) Xét sự biến thiên của $v(t)$ để biết $v$ giảm hay tăng.
Tính đạo hàm: $ v'(t)=(6t^{2}-24t+18)'=12t-24$ $=12(t-2). $
Khi $t<2$ thì $a(t)<0 \Rightarrow v$ giảm.
Khi $t>2$ thì $a(t)>0\Rightarrow v$ tăng.
Do đó trên khoảng $(1,3)$ vận tốc không luôn giảm: nó giảm trên $(1,2)$ nhưng tăng trên $(2,3)$.
Vì vậy phát biểu “Vận tốc của chất điểm giảm trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba” là sai.
c) Tính toạ độ sau $4$ giây:
$ x(4)=2\cdot 4^{3}-12\cdot 4^{2}+18\cdot 4 =8. $
Vậy sau $4$ giây chất điểm cách điểm xuất phát $8\ \text{m}$. Phát biểu là đúng.
d) Tính quãng đường trong $2$ giây đầu tiên.
Trước hết tính toạ độ ở các thời điểm cần thiết:
$ x(0)=0. $
$ x(1)=2\cdot1^{3}-12\cdot1^{2}+18\cdot1$ $=2-12+18=8. $
$ x(2)=2\cdot2^{3}-12\cdot2^{2}+18\cdot2$ $=16-48+36=4. $
Vận tốc $v(t)=6(t-1)(t-3)$ có 1 nghiệm trên đoạn $[0,2]$ là $t=1$.
Quãng đường đi được trong $[0,2]$ bằng tổng:
+ quãng đường từ $t=0$ đến $t=1$ là $|x(1)-x(0)|=|8-0|=8$ (m),
+ quãng đường từ $t=1$ đến $t=2$ là $|x(2)-x(1)|=|4-8|=4$ (m).
Tổng quãng đường $=8+4=12$ (m). Vậy phát biểu là đúng.
Tóm tắt kết luận
a) Đúng.b) Sai.
c) Đúng.
d) Đúng.
