Bài toán tối ưu hoá lợi nhuận Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Mỗi bộ sản phẩm loại I bán ra lãi 4 t...
Bài toán tối ưu hoá lợi nhuận
Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Mỗi bộ sản phẩm loại I bán ra lãi 4 triệu đồng và mỗi bộ sản phẩm loại II bán ra lãi 5 triệu đồng. Để sản xuất bộ sản phẩm loại I cần sử dụng máy làm việc trong 3 giờ và công nhân làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất bộ sản phẩm loại II cần sử dụng máy làm việc trong 3 giờ và công nhân làm việc trong 2 giờ. Biết rằng trong quá trình sản xuất không thể đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc, số công nhân luôn ổn định. Một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, công nhân làm việc không quá 8 giờ. Số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?Lời giải chi tiết
Gọi:* $x$: số bộ sản phẩm loại I trong một ngày
* $y$: số bộ sản phẩm loại II trong một ngày
1. Hàm mục tiêu
Mỗi sản phẩm loại I lãi 4 triệu, loại II lãi 5 triệu: $$P = 4x + 5y \quad (\text{triệu đồng})$$ Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $P$.2. Các điều kiện ràng buộc
(a) Giờ máy
* Loại I: 3 giờ* Loại II: 3 giờ
* Máy chỉ chạy được 15 giờ/ngày: $$3x + 3y \le 15$$ * Rút gọn: $$x + y \le 5$$
(b) Giờ công nhân
* Loại I: 1 giờ* Loại II: 2 giờ
* Công nhân chỉ làm 8 giờ/ngày: $$x + 2y \le 8$$
(c) Điều kiện không âm
$$x \ge 0,\quad y \ge 0$$3. Xác định miền nghiệm và các điểm biên
Giao điểm các đường thẳng:• Giao của $x+y=5$ và $x+2y=8$:
$\begin{cases} x+y=5 \\ x+2y=8 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=3.$• Giao trục:
* Với $x=0$: Từ $x+2y = 8$ ⇒ $y = 4$.* Với $y=0$: Từ $x+y= 5$ ⇒ $x = 5$.
• Biểu diễn miền nghiệm
4. Tính lợi nhuận tại các đỉnh của miền nghiệm
* Tại $A(0,0)$: $$P = 4\cdot 0 + 5\cdot 0 = 0$$ * Tại $B(5,0)$: $$P = 4\cdot 5 + 5\cdot 0 = 20$$ * Tại $C(0,4)$: $$P = 4\cdot 0 + 5\cdot 4 = 20$$ * Tại $D(2,3)$: $$P = 4\cdot 2 + 5\cdot 3 = 8 + 15 = 23$$5. Kết luận
Lợi nhuận lớn nhất: $$P_{\max} = 23\ \text{triệu đồng}.$$ Đạt được khi: $x = 2,\quad y = 3.$Đáp số: $\boxed{23\text{ triệu đồng}}$.
