Đề bài toán Tìm đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x$. Đường tiệm cận ngang Tập xác định của h...
Đề bài toán
Tìm đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x$.
Đường tiệm cận ngang
Tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)$.Xét giới hạn của hàm số khi $x\to +\infty$.
Ta có: $$ \sqrt{x^{2}+1}-x =\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}. $$ Do đó $$ \lim_{x\to +\infty} y=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1)}=0. $$ Vậy tiệm cận ngang (khi $x\to +\infty$) của đồ thị hàm số là đường thẳng $\boxed{y=0}$.
Đường tiệm cận xiên
Ta sẽ chứng minh đường thẳng $y=-2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi $x\to -\infty$).Ta có: $$\lim_{x\to -\infty}[y-(-2x)]=\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^{2}+1}-x+2x)=\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^{2}+1}+x)$$ $$=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x(-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1)}=0.$$ Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi $x\to -\infty$) là đường thẳng $\boxed{y=-2x}$.
Kết luận nhanh
Đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}-x$ có:*Tiệm cận ngang: $\boxed{y=0}$.
*Tiệm cận xiên: $\boxed{y=-2x}$.
